Resolva pelo método de Jacobi o sistema
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=3 \\\ x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=-2 \\\ x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=7 \end{array}\right.
\operatorname{com} \epsilon<10^{-3} e x^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 4x_{1}-2x_{2}+x_{3}=3,\\\ x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-2,\\\ x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=7, \end{cases}
e queremos aproximar a solução pelo método de Jacobi com tolerância \epsilon<10^{-3} e chute inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. O conteúdo é iteração de ponto fixo para sistemas lineares, usando a forma diagonalmente dominante para garantir convergência.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi isolando cada variável na sua equação:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{3+2\,x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{4},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{2+x_{1}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{4},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{7-x_{1}^{(k)}-2\,x_{2}^{(k)}}{4}.
A cada passo calculamos esses três valores e verificamos o critério de parada
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-3}.

Passo 3

Calculamos as primeiras iterações a título de exemplo:
k=0\to1:
x^{(1)}=\bigl(0{,}75,\;0{,}5,\;1{,}75\bigr)^{T},\qquad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=1{,}75.
k=1\to2:
x^{(2)}=\bigl(0{,}5625,\;1{,}125,\;1{,}3125\bigr)^{T},\qquad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=0{,}625.
k=2\to3:
x^{(3)}=\bigl(0{,}984375,\;0{,}96875,\;1{,}046875\bigr)^{T},\qquad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=0{,}421875.

Passo 4

Continuando o processo até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-3}, obtemos convergência em k=8 iterações com
x^{(8)}\approx\bigl(0{,}99995422,\;1{,}00003052,\;1{,}00001526\bigr)^{T},
já que
\|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}\approx0{,}00016785<10^{-3}.

Resposta

A iteração de Jacobi converge em 8 passos e a solução aproximada é
x\approx\begin{pmatrix} 0{,}99995422\\\\ 1{,}00003052\\\\ 1{,}00001526 \end{pmatrix}.

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