Resolva, pelo método de Gauss, o sistema de equações A u=b, para os seguintes pares (A, b) ( i denota a unidade imaginária raiz-1 ):
A=[rrrr1 & 2 & -1 & 5 2 & 1 & -1 & 3 4 & -1 & 5 & 2 1 & 1 & -1 & 3], b=[l1 0 1 2]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A cdot u = b
pelo método de eliminação de Gauss, onde
A= 1 & 2 & -1 & 5 2 & 1 & -1 & 3 4 & -1 & 5 & 2 1 & 1 & -1 & 3 , b=1012
Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 5 & 1 2 & 1 & -1 & 3 & 0 4 & -1 & 5 & 2 & 1 1 & 1 & -1 & 3 & 2 ]

Passo 3

Usamos o pivô da primeira linha para zerar abaixo:
R_{2} \leftarrow R_{2} - 2 \cdot R_{1},; R_{3} \leftarrow R_{3} - 4 \cdot R_{1},; R_{4} \leftarrow R_{4} - R_{1}.
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 5 & 1 0 & -3 & 1 & -7 & -2 0 & -9 & 9 & -18 & -3 0 & -1 & 0 & -2 & 1 ]

Passo 4

Pivô na posição ( 2,2) = -3. Zeramos abaixo:
R_{3} \leftarrow R_{3} - 3 \cdot R_{2},; R_{4} \leftarrow R_{4} - \tfrac{1}{3} \cdot R_{2}.
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 5 & 1 0 & -3 & 1 & -7 & -2 0 & 0 & 6 & 3 & 3 0 & 0 & -tfrac13 & tfrac13 & tfrac53 ]

Passo 5

Pivô na posição ( 3,3) =6. Zeramos R_{4}:
R_{4} \leftarrow R_{4} - \Bigl(\tfrac{-\frac{1}{3}}{6}\Bigr) R_{3} = R_{4} + \tfrac{1}{18} R_{3}.
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 5 & 1 0 & -3 & 1 & -7 & -2 0 & 0 & 6 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & tfrac12 & tfrac116 ]
Agora temos forma triangular superior.

Passo 6

Fazemos substituição regressiva:
1. Da 4ª linha:
tfrac12,x4 = tfrac116 ;Longrightarrow; x4 = 116cdot 2 = 113
2. Da 3ª linha:
6,x3 + 3,x4 = 3 ;Longrightarrow; x3 = 3 - 3,x46 = 3 - 3cdot1136 = 3 - 116 = -43
3. Da 2ª linha:
-3,x2 + x3 - 7,x4 = -2 ;Longrightarrow; x2 = 2 + x3 - 7,x43 = 2 - tfrac43 - 7cdottfrac1133 = -253
4. Da 1ª linha:
x1 + 2,x2 - x3 + 5,x4 = 1 ;Longrightarrow; x1 = 1 - 2,x2 + x3 - 5,x4 = -2

Resposta

u = -2[4pt] -tfrac253[4pt] -tfrac43[4pt] tfrac113 ]

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