Resolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU. \left\{\begin{array}{l}-3 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=15 \\\\ -12 x_{1}+10 x_{2}-6 x_{3}=82 \\\\ 15 x_{1}+13 x_{2}+12 x_{3}=-5\end{array}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{cases} -3x_{1}+x_{2}-2x_{3}=15,\\\\ -12x_{1}+10x_{2}-6x_{3}=82,\\\\ 15x_{1}+13x_{2}+12x_{3}=-5 \end{cases} usando fatoração LU. Aqui o conteúdo é decomposição de uma matriz em produto de uma matriz triangular inferior L (com 1 na diagonal) e uma triangular superior U, e depois resolver LUx=b por substituição direta e reversa. Passo 2Formamos a matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix} -3 & 1 & -2\\\\ -12 & 10 & -6\\\\ 15 & 13 & 12 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}15\\\ 82\\\ -5\end{pmatrix}. Fazendo eliminação de Gauss sem pivoteamento: Pivot em a_{11}=-3. Multiplicadores \ell_{21}=\frac{-12}{-3}=4,\quad \ell_{31}=\frac{15}{-3}=-5. Atualizando as linhas 2 e 3: \text{linha}_2\leftarrow\text{linha}_2-4\,\text{linha}_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;6,\;2),\quad b_2=82-4\cdot15=22, \text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-(-5)\,\text{linha}_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;18,\;2),\quad b_3=-5+5\cdot15=70. Pivot em a'_{22}=6. Multiplicador \ell_{32}=\frac{18}{6}=3. Atualizando linha 3: \text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-3\,\text{linha}_2 \;\Longrightarrow\; (0,\;0,\;-4),\quad b_3=70-3\cdot22=4. Assim L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 4&1&0\\\\ -5&3&1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} -3&1&-2\\\\ 0&6&2\\\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}. Passo 3Resolvemos Ly=b por substituição direta: y_{1}=15, y_{2}=22-4\,y_{1}=22-4\cdot15=-38, y_{3}=4-(-5)\,y_{1}-3\,y_{2} =4+5\cdot15-3\cdot(-38)=4+75+114=193. Passo 4Resolvemos Ux=y por substituição reversa: da terceira equação de Ux=y: -4\,x_{3}=193 \;\Longrightarrow\; x_{3}=-\frac{193}{4}. da segunda: 6\,x_{2}+2\,x_{3}=-38 \;\Longrightarrow\; 6\,x_{2}+2\Bigl(-\tfrac{193}{4}\Bigr)=-38 \;\Longrightarrow\; 12\,x_{2}-193=-76 \;\Longrightarrow\; x_{2}=\frac{117}{12}=\frac{39}{4}. da primeira: -3\,x_{1}+x_{2}-2\,x_{3}=15 \;\Longrightarrow\; -3\,x_{1}+\frac{39}{4}-2\Bigl(-\tfrac{193}{4}\Bigr)=15 \;\Longrightarrow\; -3\,x_{1}+\frac{425}{4}=15 \;\Longrightarrow\; x_{1}=\frac{365}{12}. Resposta x_{1}=\frac{365}{12},\quad x_{2}=\frac{39}{4},\quad x_{3}=-\frac{193}{4}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU. \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=6 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2}+10 x_{3}=16 \\\\ 4 x_{1}+8 x_{2}+2 x_{3}=2\end{array}\right. Resolva os sistemas abaixo pela eliminação de Gauss. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=7,12 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=12,02 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=14,9 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=20,72\end{array}\right. Resolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU. \left\{\begin{array}{l}-5 x_{1}+4 x_{2}+0 x_{3}+1 x_{4}=-17 \\\\ -30 x_{1}+27 x_{2}+2 x_{3}+7 x_{4}=-102 \\\\ 5 x_{1}+2 x_{2}+0 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\\\ 10 x_{1}+1 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=-6\end{array}\right. Resolva pelo método de Jacobi o sistema \left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=3 \\\ x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=-2 \\\ x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=7 \end{array}\right. \operatorname{com} \epsilon<10^{-3} e x^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}