Resolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU.
\left\{\begin{array}{l}-3 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=15 \\\\ -12 x_{1}+10 x_{2}-6 x_{3}=82 \\\\ 15 x_{1}+13 x_{2}+12 x_{3}=-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} -3x_{1}+x_{2}-2x_{3}=15,\\\\ -12x_{1}+10x_{2}-6x_{3}=82,\\\\ 15x_{1}+13x_{2}+12x_{3}=-5 \end{cases}
usando fatoração LU. Aqui o conteúdo é decomposição de uma matriz em produto de uma matriz triangular inferior L (com 1 na diagonal) e uma triangular superior U, e depois resolver LUx=b por substituição direta e reversa.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} -3 & 1 & -2\\\\ -12 & 10 & -6\\\\ 15 & 13 & 12 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}15\\\ 82\\\ -5\end{pmatrix}.
Fazendo eliminação de Gauss sem pivoteamento:
  1. Pivot em a_{11}=-3. Multiplicadores
\ell_{21}=\frac{-12}{-3}=4,\quad \ell_{31}=\frac{15}{-3}=-5.
Atualizando as linhas 2 e 3:
\text{linha}_2\leftarrow\text{linha}_2-4\,\text{linha}_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;6,\;2),\quad b_2=82-4\cdot15=22,
\text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-(-5)\,\text{linha}_1 \;\Longrightarrow\; (0,\;18,\;2),\quad b_3=-5+5\cdot15=70.
  1. Pivot em a'_{22}=6. Multiplicador
\ell_{32}=\frac{18}{6}=3.
Atualizando linha 3:
\text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-3\,\text{linha}_2 \;\Longrightarrow\; (0,\;0,\;-4),\quad b_3=70-3\cdot22=4.
Assim
L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 4&1&0\\\\ -5&3&1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} -3&1&-2\\\\ 0&6&2\\\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
y_{1}=15,
y_{2}=22-4\,y_{1}=22-4\cdot15=-38,
y_{3}=4-(-5)\,y_{1}-3\,y_{2} =4+5\cdot15-3\cdot(-38)=4+75+114=193.

Passo 4

Resolvemos Ux=y por substituição reversa:
da terceira equação de Ux=y:
-4\,x_{3}=193 \;\Longrightarrow\; x_{3}=-\frac{193}{4}.
da segunda:
6\,x_{2}+2\,x_{3}=-38 \;\Longrightarrow\; 6\,x_{2}+2\Bigl(-\tfrac{193}{4}\Bigr)=-38 \;\Longrightarrow\; 12\,x_{2}-193=-76 \;\Longrightarrow\; x_{2}=\frac{117}{12}=\frac{39}{4}.
da primeira:
-3\,x_{1}+x_{2}-2\,x_{3}=15 \;\Longrightarrow\; -3\,x_{1}+\frac{39}{4}-2\Bigl(-\tfrac{193}{4}\Bigr)=15 \;\Longrightarrow\; -3\,x_{1}+\frac{425}{4}=15 \;\Longrightarrow\; x_{1}=\frac{365}{12}.

Resposta

x_{1}=\frac{365}{12},\quad x_{2}=\frac{39}{4},\quad x_{3}=-\frac{193}{4}.

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