Resolva pelo método de separação de variáveis: \left\{\begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\\ u_{x}(0, t)=0, \quad u(\pi, t)=0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen} x \\\ u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda
u_{tt} = u_{xx}
em 0<x<\pi, com condições de contorno
u_{x}(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=\sin x,\quad u_{t}(x,0)=0.
O método é o de separação de variáveis: buscamos modos próprios X(x)T(t), achamos autovalores \lambda_n, montamos a série de Fourier e aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{tt}=u_{xx} e dividindo por X\,T dá
\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Assim obtemos os problemas
X''+\lambda X=0,\quad T''+\lambda T=0.
A condição u_x(0,t)=0 vira X'(0)=0 e u(\pi,t)=0 vira X(\pi)=0.
Passo 3
A equação espacial X''+\lambda X=0 com X'(0)=0, X(\pi)=0 tem solução geral