Resolva pelo método de separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\\ u_{x}(0, t)=0, \quad u(\pi, t)=0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen} x \\\ u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
u_{tt} = u_{xx}
em 0<x<\pi, com condições de contorno
u_{x}(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=\sin x,\quad u_{t}(x,0)=0.
O método é o de separação de variáveis: buscamos modos próprios X(x)T(t), achamos autovalores \lambda_n, montamos a série de Fourier e aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{tt}=u_{xx} e dividindo por X\,T
\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Assim obtemos os problemas
X''+\lambda X=0,\quad T''+\lambda T=0.
A condição u_x(0,t)=0 vira X'(0)=0 e u(\pi,t)=0 vira X(\pi)=0.

Passo 3

A equação espacial X''+\lambda X=0 com X'(0)=0, X(\pi)=0 tem solução geral
X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda}\,x)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,x).
A condição X'(0)=0 implica B=0, restando
X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda}\,x),\quad \cos(\sqrt{\lambda}\,\pi)=0.
Isto dá \sqrt{\lambda_n}\,\pi=(2n-1)\frac\pi2, ou seja
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{2n-1}2\Bigr)^2,\quad n=1,2,\dots
e os autovetores normalizados em forma de base são
X_n(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr).
A parte temporal tem frequência \omega_n=\sqrt{\lambda_n}=(2n-1)/2, logo cada modo é
u_n(x,t)=\bigl[A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr]\,X_n(x).
Como u_t(x,0)=0 segue B_n=0, e
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,t\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr).
Para achar A_n expandimos \sin x na base X_n:
\sin x = \sum_{n=1}^\infty A_n\,\cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr).

Passo 4

O coeficiente A_n vem de
A_n=\frac{\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\;\cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr)\,dx} {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^2\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr)\,dx}.
Como \int_{0}^{\pi}\cos^2(kx)\,dx=\pi/2 para k\neq0, basta calcular
I_n=\int_{0}^{\pi}\sin x\cos\!\bigl(k_n x\bigr)\,dx, \quad k_n=\tfrac{2n-1}2.
Usando produto para soma:
\sin x\cos(k_n x) =\tfrac12\bigl[\sin\bigl((1+k_n)x\bigr)+\sin\bigl((1-k_n)x\bigr)\bigr],
integramos de 0 a \pi e obtemos
I_n =-\frac{4}{(2n+1)(2n-3)}.
Logo
A_n=\frac{I_n}{\pi/2} =-\frac{8}{\pi\,(2n+1)(2n-3)} =\;-\frac{16}{\pi\bigl[(2n-1)^2-4\bigr]}.

Passo 5

Finalmente, a solução que satisfaz todas as condições é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[-\tfrac{16}{\pi\bigl[(2n-1)^2-4\bigr]}\Bigr]\, \cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,t\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(-\frac{16}{\pi\bigl[(2n-1)^2-4\bigr]}\biggr) \cos\!\Bigl(\tfrac{2n-1}2\,t\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{2n-1}2\,x\Bigr).

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