Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
em
, com condições de contorno
e condições iniciais
O conteúdo usado será separação de variáveis e séries de Fourier seno.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
e dividindo por
vem
Isso gera os problemas de autovalor
e
Do primeiro,
,
, e
Assim a solução geral é
Passo 3
Aplicamos
na série. Como
em
vem
, logo
.
Fica
Fica
Para ajustar
, escrevemos
onde
Passo 4
Para calcular
, ponha
. Então
Integrações por partes levam a
Note que, se
é par,
e
; se
é ímpar,
e
Passo 5
Substituindo em
, a solução final é