Resolva pelo método de separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \\\ u(x, 0)=x(L-x) \\\ u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
u_{t t} = u_{x x}
em 0<x<L,\\ t>0, com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=x(L-x),\quad u_{t}(x,0)=0.
O conteúdo usado será separação de variáveis e séries de Fourier seno.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{t t}=u_{x x} e dividindo por X(x)T(t) vem
\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isso gera os problemas de autovalor
X''+\lambda X=0,\quad X(0)=0,\\ X(L)=0
e
T''+\lambda T=0.
Do primeiro, \lambda_n=(n\pi/L)^2, n=1,2,\dots, e
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).
Assim a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(\tfrac{n\pi}{L}t)+B_n\sin(\tfrac{n\pi}{L}t)\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).

Passo 3

Aplicamos u_{t}(x,0)=0 na série. Como
u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Bigl(-A_n\tfrac{n\pi}{L}\sin(\tfrac{n\pi}{L}t)+B_n\tfrac{n\pi}{L}\cos(\tfrac{n\pi}{L}t)\Bigr)\sin(\tfrac{n\pi}{L}x),
em t=0 vem u_t(x,0)=\sum B_n\frac{n\pi}{L}\sin(\tfrac{n\pi}{L}x)=0, logo B_n=0.
Fica
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).
Para ajustar u(x,0)=x(L-x), escrevemos
x(L-x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),
onde
A_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular A_n, ponha k=\tfrac{n\pi}{L}. Então
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x(L-x)\sin(kx)\,dx.
Integrações por partes levam a
A_n=-4\,\frac{L^2}{n^3\pi^3}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Note que, se n é par, (-1)^n-1=0 e A_n=0; se n é ímpar, (-1)^n-1=-2 e
A_n=\frac{8\,L^2}{n^3\pi^3}\quad(n\text{ ímpar}).í

Passo 5

Substituindo em u(x,t), a solução final é
u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8\,L^2}{(2m+1)^3\pi^3} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{L}t\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{L}x\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8\,L^2}{(2m+1)^3\pi^3} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{L}t\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{L}x\Bigr).

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