Calcule os seguintes limites:
(a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{x}+y^{x}}{x^{2}+y^{2}}
(b)
\lim _{(x, 11) \rightarrow(0,5)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis. O conteúdo principal é análise de limites em \mathbb{R}^2. No item (a) vamos usar a expansão
x^{x} = e^{x\ln x},\quad y^{x} = e^{x\ln y},
para estudar o comportamento quando (x,y)\to(0,0). No item (b) usaremos a continuidade da função no ponto (0,5) e verificaremos se o denominador se anula ali.

Passo 2

Para o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{x}+y^{x}}{x^{2}+y^{2}},
note que, para x>0 pequeno,
x\ln x \;\xrightarrow[x\to0^+]{}\;0\quad\Longrightarrow\quad x^{x}=e^{x\ln x}\xrightarrow[x\to0^+]{}1.
De modo análogo, para y>0 pequeno e x>0 próximo de zero,
x\ln y \;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\;0\quad\Longrightarrow\quad y^{x}=e^{x\ln y}\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}1.

Passo 3

Com isso, o numerador satisfaz
x^{x}+y^{x}\;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\;1+1=2,
enquanto o denominador
x^{2}+y^{2}\;\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}\;0.
Logo a razão tende a 2/(\text{quantia que vai a }0^+), ou seja, explode para +\infty. Portanto o limite não é finito, mas diverge para +\infty.

Passo 4

Agora, para
\lim_{(x,y)\to(0,5)}\frac{x^{2}\,y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}},
observe que em torno de (0,5) o denominador está sempre próximo de
x^{4}+4y^{2}\;\xrightarrow[(x,y)\to(0,5)]{}\;0^{4}+4\cdot5^{2}=100\neq0,
ou seja, não se anula. Como as funções x\mapsto x^{2}, y\mapsto y e y\mapsto e^{y} são contínuas, basta substituir (x,y)=(0,5):

Passo 5

Avaliação direta no ponto:
\text{numerador}\;=\;0^{2}\cdot5\cdot e^{5}=0,\quad \text{denominador}\;=\;0^{4}+4\cdot5^{2}=100,
portanto a razão tende a
\frac{0}{100}=0.

Resposta

(a) O limite diverge para +\infty.
(b) O limite é 0.

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