{ }^{a} Questão. Encontre uma equaçāo do plano tangente à superficie
x y+y z+z x=5
no ponto ( 1,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície implícita
x\,y + y\,z + z\,x = 5
no ponto (1,2,1). O conteúdo aqui é cálculo de plano tangente a uma superfície definida por F(x,y,z)=0, usando o gradiente de F.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z) = x\,y + y\,z + z\,x - 5,
de modo que a superfície é F(x,y,z)=0. A teoria diz que o vetor normal ao plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dado por \nabla F(x_0,y_0,z_0) e a equação do plano é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\;\frac{\partial F}{\partial y},\;\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) = \bigl(y+z,\;x+z,\;x+y\bigr).

Passo 4

Avaliamo-lo no ponto (1,2,1):
\nabla F(1,2,1) = (2+1,\;1+1,\;1+2) = (3,2,3).

Passo 5

Substituímos na equação do plano:
(3,2,3)\cdot(x-1,y-2,z-1)=0
o que dá
3(x-1) + 2(y-2) + 3(z-1) = 0
e, desenvolvendo,
3x - 3 + 2y - 4 + 3z - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2y + 3z - 10 = 0.

Resposta

3x + 2y + 3z - 10 = 0.

Exercícios relacionados