Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut t=alpha^2 ux x ux(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=sen x ut(x, 0)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como uma função $ u(x, t) $ varia no tempo $ t $ e no espaço $ x $. A equação dada é $ u_{tt} = \alpha^{2} u_{xx} $, que é a equação da onda. Precisamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis, levando em conta as condições de contorno e iniciais fornecidas. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de equações diferenciais parciais, separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Vamos começar assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $. Ou seja, assumimos:
x
Isso é o que chamamos de separação de variáveis.

Passo 3

Substituímos $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação original $ u_{tt} = \alpha^{2} u_{xx} $:
u(x, t) = X(x)T(t)
Agora, dividimos ambos os lados por $ \alpha^{2} X(x) T(t) $:
utt = alpha^2 uxx
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ T(t) $:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Começamos resolvendo a equação para $ X(x) $:
X(x)
As soluções dessa equação dependem do valor de $ \lambda $. Para termos soluções não-triviais que satisfaçam as condições de contorno, $ \lambda $ deve ser positiva. Assim, podemos escrever $ \lambda = n^{2} $ onde $ n $ é um número inteiro.

Passo 6

As soluções para $ X(x) $ então são funções senoidais e cosenoidais:
X(x)
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar $ A_n $ e $ B_n $.

Passo 7

Primeira condição de contorno: $ u_x(0, t) = 0 $.
Derivando $ X_n(x) $ em relação a $ x $:
ux(0, t) = 0
Aplicando $ x = 0 $:
Xn(x)
Portanto, $ X_n(x) = A_n \cos(n x) $.

Passo 8

Segunda condição de contorno: $ u(\pi, t) = 0 $.
Substituindo $ x = \pi $ na solução:
u(pi, t) = 0
Para que isso seja verdadeiro, $ \cos(n \pi) = 0 $, o que ocorre quando $ n $ é um número ímpar. Porém, $ A_n $ pode ser zero apenas se a função for trivial. Portanto, concluímos que:
x = pi
Entretanto, para simplificar, consideramos $ n $ inteiro e ajustamos a solução posteriormente.

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
T(t)
Esta é uma equação diferencial harmônica com solução:
T''(t) + alpha^2 n^2 T(t) = 0

Passo 10

Combinando $ X_n(x) $ e $ T_n(t) $, a solução geral é uma soma de todas as soluções separadas:
Xn(x)
Podemos simplificar reagrupando as constantes em $ A_n $ e $ B_n $:
Tn(t)

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $:
  1. $ u(x, 0) = \sin x $
  2. $ u_t(x, 0) = 0 $
Primeiro, aplicamos $ u(x, 0) = \sin x $:
An
Isso implica que apenas $ A_1 $ é diferente de zero e $ A_1 = 1 $.

Passo 12

Agora, aplicamos $ u_t(x, 0) = 0 $:
ut(x, 0) = 0
Isso implica que todos os $ B_n = 0 $.

Passo 13

Finalmente, substituímos os coeficientes encontrados na solução geral:
u(x, t) = cos(alpha t) cos(x)

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
u(x, t) = cos(alpha t) cos(x)

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