Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=ux x u(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=100

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação do calor, onde queremos encontrar como a temperatura $ u(x, t) $ varia no tempo e no espaço. A equação dada é:
u(x, t)
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a dividir a equação em partes mais simples: uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma só de $ x $ e outra só de $ t $:
u(x, t)
Essa é a ideia central do método de separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor $ u_t = u_{xx} $. Calculando as derivadas:
u(x, t) = X(x)T(t)
ut = uxx
Substituindo na equação original:
partial upartial t = X(x) cdot dTdt

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis:
1T(t) cdot dTdt = 1X(x) cdot d^2Xdx^2 = -lambda
Aqui, $ -\lambda $ é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
-lambda
dTdt + lambda T = 0

Passo 5

Vamos resolver essas equações separadamente. Começando com a equação de $ X(x) $:
X(x)
Com as condições de contorno $ X(0) = 0 $ e $ X(\pi) = 0 $. A solução não trivial existe quando $ \lambda = n^2 $ para $ n = 1, 2, 3, \dots $, e as soluções são:
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Agora, resolvendo para $ T(t) $:
X(0) = 0

Passo 6

A solução geral da equação do calor é uma soma de todas essas soluções separadas:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(nx) e^-n^2 t
Agora, vamos usar a condição inicial $ u(x, 0) = 100 $ para encontrar os coeficientes $ B_n $:
u(x, 0) = 100

Passo 7

Para encontrar $ B_n $, usamos a série de Fourier. Multiplicando ambos os lados por $ \sin(mx) $ e integrando de $ 0 $ a $ \pi $:
Bn
Como $ \cos(m\pi) = (-1)^m $, temos:
sin(mx)
Isso significa que apenas os termos ímpares de $ m $ terão coeficientes não nulos.

Resposta

A solução da equação do calor é dada por:
u(x, t) = 200pi sumn=1,3,5,dots^infty 1n sin(nx) e^-n^2 t

Exercícios relacionados