Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação do calor, onde queremos encontrar como a temperatura $ u(x, t) $ varia no tempo e no espaço. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a dividir a equação em partes mais simples: uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma só de $ x $ e outra só de $ t $:
Essa é a ideia central do método de separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ u(x, t) = X(x)T(t) $ na equação do calor $ u_t = u_{xx} $. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis:
Aqui, $ -\lambda $ é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações separadamente. Começando com a equação de $ X(x) $:
Com as condições de contorno $ X(0) = 0 $ e $ X(\pi) = 0 $. A solução não trivial existe quando $ \lambda = n^2 $ para $ n = 1, 2, 3, \dots $, e as soluções são:
Agora, resolvendo para $ T(t) $:
Passo 6
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas essas soluções separadas:
Agora, vamos usar a condição inicial $ u(x, 0) = 100 $ para encontrar os coeficientes $ B_n $:
Passo 7
Para encontrar $ B_n $, usamos a série de Fourier. Multiplicando ambos os lados por $ \sin(mx) $ e integrando de $ 0 $ a $ \pi $:
Como $ \cos(m\pi) = (-1)^m $, temos:
Isso significa que apenas os termos ímpares de $ m $ terão coeficientes não nulos.
Resposta
A solução da equação do calor é dada por: