Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=alpha^2 ux x ux(0, t)=0, ux(pi, t)=0 u(x, 0)=2 sen x

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor, que descreve como a temperatura (ou outra quantidade) se distribui no espaço ao longo do tempo. A equação dada é:
ut = alpha^2 uxx
Temos também as condições de contorno:
ux(0, t) = 0 e ux(pi, t) = 0
E a condição inicial:
u(x, 0) = 2 sin x
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
x

Passo 3

Substituímos $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação do calor:
u(x, t) = X(x) T(t)
Isso resulta em:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2

Passo 4

Dividimos ambos os lados por $ \alpha^{2} X(x) T(t) $:
alpha^2 X(x) T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos leva a duas equações ordinárias:
  1. Para $ T(t) $:
T(t)
  1. Para $ X(x) $:
dT(t)dt + alpha^2 lambda T(t) = 0

Passo 6

Resolvemos a equação de $ X(x) $ com as condições de contorno $ u_{x}(0, t) = 0 $ e $ u_{x}(\pi, t) = 0 $. Isso implica que a derivada de $ X(x) $ em $ x = 0 $ e $ x = \pi $ deve ser zero:
X(x)

Passo 7

A solução geral para $ X(x) $ com essas condições é:
X(x)
Onde $ n = 0, 1, 2, ··· $ e $ \lambda_n = \left(\frac{n}{\pi}\right)^2 $.

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
T(t)
A solução é:
dTn(t)dt + alpha^2 lambdan Tn(t) = 0

Passo 9

A solução geral da equação do calor é então uma soma das soluções separadas:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos(n xpi) e^-alpha^2 lambdan t

Passo 10

Aplicamos a condição inicial $ u(x, 0) = 2 \sin x $. Isso nos permite determinar os coeficientes $ A_n $:
u(x, 0) = 2 sin x
Como $ \sin x $ é uma função ímpar e as funções cosseno são pares, os coeficientes $ A_n $ para $ n = 0, 2, 4, ··· $ serão zero. Apenas o termo com $ n = 1 $ contribuirá.

Passo 11

Calculamos $ A_1 $:
A1

Resposta

A solução da equação é:
u(x, t) = 2 cos(x) e^-alpha^2 t

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