Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor, que descreve como a temperatura (ou outra quantidade) se distribui no espaço ao longo do tempo. A equação dada é:
Temos também as condições de contorno:
E a condição inicial:
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Passo 3
Substituímos $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação do calor:
Isso resulta em:
Passo 4
Dividimos ambos os lados por $ \alpha^{2} X(x) T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações ordinárias:
- Para $ T(t) $:
- Para $ X(x) $:
Passo 6
Resolvemos a equação de $ X(x) $ com as condições de contorno $ u_{x}(0, t) = 0 $ e $ u_{x}(\pi, t) = 0 $. Isso implica que a derivada de $ X(x) $ em $ x = 0 $ e $ x = \pi $ deve ser zero:
Passo 7
A solução geral para $ X(x) $ com essas condições é:
Onde $ n = 0, 1, 2, ··· $ e $ \lambda_n = \left(\frac{n}{\pi}\right)^2 $.
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
A solução é:
Passo 9
A solução geral da equação do calor é então uma soma das soluções separadas:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial $ u(x, 0) = 2 \sin x $. Isso nos permite determinar os coeficientes $ A_n $:
Como $ \sin x $ é uma função ímpar e as funções cosseno são pares, os coeficientes $ A_n $ para $ n = 0, 2, 4, ··· $ serão zero. Apenas o termo com $ n = 1 $ contribuirá.
Passo 11
Calculamos $ A_1 $:
Resposta
A solução da equação é: