O enunciado pede para resolver a equação do calor ut=alpha^2uxx no intervalo 0<= x<=20, com condições de contorno u(0,t)=0, u(20,t)=60 e condição inicial u(x,0)=25, usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar também encontrar primeiro a solução estacionária (equilíbrio) e depois tratar o desvio em série de senos.
Passo 2
Precisamos de uma solução estacionária varphi(x) que satisfaça varphi''(x)=0 e as mesmas condições de contorno: varphi(0)=0, varphi(20)=60. Integrando duas vezes, obtemos varphi(x)=Ax+B. Como varphi(0)=B=0 e varphi(20)=20A=60, conclui-se A=3 e varphi(x)=3x.
Passo 3
Agora definimos o novo desconhecido v(x,t)=u(x,t)-varphi(x). Logo v satisfaz
vt=alpha^2vxx,
com contornos homogêneos v(0,t)=0, v(20,t)=0 e condição inicial v(x,0)=u(x,0)-varphi(x)=25-3x
Passo 4
Pela separação de variáveis para v com contornos nulos, escrevemos a série de senos