Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=alpha^2 ux x u(0, t)=0, u(20, t)=60 u(x, 0)=25

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor ut=alpha^2uxx no intervalo 0<= x<=20, com condições de contorno u(0,t)=0, u(20,t)=60 e condição inicial u(x,0)=25, usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar também encontrar primeiro a solução estacionária (equilíbrio) e depois tratar o desvio em série de senos.

Passo 2

Precisamos de uma solução estacionária varphi(x) que satisfaça varphi''(x)=0 e as mesmas condições de contorno: varphi(0)=0, varphi(20)=60. Integrando duas vezes, obtemos varphi(x)=Ax+B. Como varphi(0)=B=0 e varphi(20)=20A=60, conclui-se A=3 e varphi(x)=3x.

Passo 3

Agora definimos o novo desconhecido v(x,t)=u(x,t)-varphi(x). Logo v satisfaz
vt=alpha^2vxx,
com contornos homogêneos v(0,t)=0, v(20,t)=0 e condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-varphi(x)=25-3x

Passo 4

Pela separação de variáveis para v com contornos nulos, escrevemos a série de senos
v(x,t)=sumn=1^inftyBnsinl(tfracnpi x20r),e^-alpha^2(tfracnpi20)^2t

Passo 5

Para achar Bn, usamos a ortogonalidade:
Bn=220integral0^20(25-3x)sinl(tfracnpi x20r),dx

Passo 6

Calculando a integral em dois pedaços: integral0^2025sin(tfracnpi x20)dx e integral0^20xsin(tfracnpi x20)dx, chega-se a
Bn=50-170(-1)^nnpi

Passo 7

Finalmente, voltamos a u somando a parte estacionária:
u(x,t)=3x+sumn=1^infty50-170(-1)^nnpisinl(npi x20r),e^-alpha^2(npi20)^2t

Resposta

u(x,t)=3x+\sum_{n=1}{\infty}\frac{50-170(-1)n}{n\pi},\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{20}\Bigr),e{-\alpha2(\frac{n\pi}{20})^2t}

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