Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=ux x u(0, t)=30, u(30, t)=0 u(x, 0)=x(60-x)30

Passo 1

Vamos resolver a equação de calor ut = uxx no intervalo 0 < x < 30 com condições de contorno u(0,t)=30, u(30,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x(60-x)30. O conteúdo é separação de variáveis para PDEs com condições de Dirichlet não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, homogenizamos as condições de contorno. Procuramos uma solução estacionária U(x) tal que U''(x)=0 e U(0)=30, U(30)=0. Integrando duas vezes, obtemos
U(x)=30 - x

Passo 3

Definimos v(x,t)=u(x,t)-U(x). Então
vt = ut - U'' = uxx = vxx, v(0,t)=0, v(30,t)=0, v(x,0)=u(x,0)-U(x)=x(60-x)30 - (30-x)

Passo 4

Agora aplicamos separação de variáveis em v(x,t)=X(x)T(t). Isso leva a
T'T=X''X = -lambda

Passo 5

As condições X(0)=X(30)=0 forçam as autofunções e autovalores
lambdan = l(npi30r)^2, Xn(x)=sinl(npi x30r), Tn(t)=e^-lambdan t

Passo 6

Portanto
v(x,t)=sumn=1^inftyBn e^-(npi/30)^2 tsinl(npi x30r), onde os coeficientes Bn vêm da expansão de Fourier da condição inicial de v:
Bn=230integral0^30 l(x(60-x)30 - (30-x)r) sinl(npi x30r),dx

Passo 7

Fazendo essa integral por partes (ou tabelas), chega-se ao resultado fechado:
Bn= dfrac240n^3pi^3, & n ímpar, -dfrac120npi, & n par í

Passo 8

Voltando a u, somamos U(x) e v(x,t):
u(x,t)=30 - x + sumn=1^inftyBn e^-(npi/30)^2 tsinl(npi x30r)

Resposta

u(x,t)=30 - x + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e{-\bigl(\frac{n\pi}{30}\bigr)2 t} \sin\Bigl(\frac{n\pi x}{30}\Bigr), onde B_n= dfrac240n^3pi^3, & n ímpar, -dfrac120npi, & n par í

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