Vamos resolver a equação de calor ut = uxx no intervalo 0 < x < 30 com condições de contorno u(0,t)=30, u(30,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x(60-x)30. O conteúdo é separação de variáveis para PDEs com condições de Dirichlet não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, homogenizamos as condições de contorno. Procuramos uma solução estacionária U(x) tal que U''(x)=0 e U(0)=30, U(30)=0. Integrando duas vezes, obtemos
Fazendo essa integral por partes (ou tabelas), chega-se ao resultado fechado:
Bn= dfrac240n^3pi^3, & n ímpar, -dfrac120npi, & n par í
Passo 8
Voltando a u, somamos U(x) e v(x,t):
u(x,t)=30 - x + sumn=1^inftyBn e^-(npi/30)^2 tsinl(npi x30r)
Resposta
u(x,t)=30 - x + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e{-\bigl(\frac{n\pi}{30}\bigr)2 t} \sin\Bigl(\frac{n\pi x}{30}\Bigr), onde B_n= dfrac240n^3pi^3, & n ímpar, -dfrac120npi, & n par í