Seja f:[a, b] R contínua. Mostre que f é integrável em [a, b].

Passo 1

O enunciado diz que f:[a,b]toR é contínua em [a,b]. Queremos mostrar que f é integrável no sentido de Riemann, isto é, para todo varepsilon>0 existe uma partição P de [a,b] tal que
U(f,P)-L(f,P)<varepsilon,
onde U(f,P) e L(f,P) são, respectivamente, as somas superior e inferior de Riemann de f em P.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema de Heine–Cantor ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado. Logo, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin[a,b],
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilonb-a

Passo 3

Escolhemos uma partição P=x0,dots,xn de [a,b] tal que o maior comprimento de subintervalo satisfaça
max1<= i<= n(xi - xi-1)<de<a
Em cada subintervalo [xi-1,xi], a oscilação de f é
Mi - mi =sup[xi-1,xi]f-inf[xi-1,xi]f <varepsilonb-a,
pois quaisquer dois pontos desse subintervalo estão a menos de de<a um do outro.

Passo 4

Pelo fato acima,
U(f,P)-L(f,P) =sumi=1^n (Mi - mi),(xi - xi-1) <sumi=1^n varepsilonb-a,(xi - xi-1) =varepsilonb-a,(b-a) =varepsilon
Assim, para essa escolha de P obtemos U(f,P)-L(f,P)<varepsilon, o que prova que f é integrável em [a,b].

Resposta

f é integrável no intervalo [a,b].

Exercícios relacionados