Seja
contínua. Mostre que
é integrável em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
. Queremos mostrar que
é integrável no sentido de Riemann, isto é, para todo
existe uma partição
de
tal que
onde
e
são, respectivamente, as somas superior e inferior de Riemann de
em
.
Passo 2
Como
é contínua em
, pelo Teorema de Heine–Cantor ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado. Logo, dado
, existe
tal que, para quaisquer
,
Passo 3
Escolhemos uma partição
de
tal que o maior comprimento de subintervalo satisfaça
Em cada subintervalo
, a oscilação de
é
pois quaisquer dois pontos desse subintervalo estão a menos de
um do outro.
Passo 4
Pelo fato acima,
Assim, para essa escolha de
obtemos
, o que prova que
é integrável em
.