Resolva pelo método de Tableaux
\{A \rightarrow(B \vee S),(B \wedge S) \rightarrow Q\} \vdash A \rightarrow Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar, pelo método de Tableaux, se
\{\,A \rightarrow (B \vee S),\;(B \wedge S)\rightarrow Q\}\;\models\;A \rightarrow Q.
Em Tableaux de proposições, assumimos as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, e aplicamos as regras de decomposição para \to, \vee e \wedge.

Passo 2

Montamos a raiz do Tableaux com as fórmulas marcadas como verdadeiras (T) ou falsas (F):
T: A \rightarrow (B \vee S)
T: (B \wedge S)\rightarrow Q
F: A \rightarrow Q A regra para F \,\to gera:
T: A
F: Q Portanto, no nível 0 temos:
T: A \rightarrow (B \vee S), T: (B \wedge S)\rightarrow Q, T: A, F: Q.

Passo 3

Aplicamos T \,\to em T: A \rightarrow (B \vee S). A regra T \,\to gera dois ramos:
  1. F: A
  2. T: B \vee S

Passo 4

No ramo 1) aparece F: A junto com T: A (vindo de F: A\to Q), o que fecha esse ramo por contradição.

Passo 5

No ramo 2) temos agora as fórmulas:
T: B \vee S, T: (B \wedge S)\rightarrow Q, T: A, F: Q.
Expandimos T: B \vee S (regra T \vee) em dois subramos:
2.1) T: B
2.2) T: S

Passo 6

Considere o subramo 2.1) com T: B. Expandimos então T: (B \wedge S)\rightarrow Q (regra T \,\to) em:
2.1.a) F: B \wedge S
2.1.b) T: Q - No 2.1.b) temos T: Q contra F: Q, o que fecha esse subramo.
  • No 2.1.a) F: B \wedge S se decompõe (regra F \wedge) em dois ramos:
  • 2.1.a.i) F: B, que fecha com T: B.
  • 2.1.a.ii) F: S, que não gera mais contradições nem abre novas regras.
Logo, o subramo 2.1.a.ii) permanece aberto.

Passo 7

O ramo aberto corresponde à atribuição
A=\top,\quad B=\top,\quad S=\bot,\quad Q=\bot,
que satisfaz T: A\rightarrow(B\vee S) e T: (B\wedge S)\rightarrow Q, mas falsifica A\rightarrow Q. Portanto o Tableaux não fecha completamente.

Resposta

O sequent não é válido. Um contraexemplo é
A=\top,\; B=\top,\; S=\bot,\; Q=\bot,
pois então
A\rightarrow(B\vee S)=\top,\quad (B\wedge S)\rightarrow Q=\top,\quad A\rightarrow Q=\bot.

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