Resolva pelo método de Tableaux
\vdash \exists x(P x \rightarrow Q a) \rightarrow(\exists x P x \rightarrow Q a)

Passo 1

Vamos mostrar que
\exists x\bigl(Px\to Qa\bigr)\;\to\;\bigl(\exists x\,Px\;\to\;Qa\bigr)
é válido pelo método de Tableaux, isto é, assumimos sua negação e provamos que todo ramo fecha.

Passo 2

Negamos a fórmula e aplicamos a regra de \neg(\_ \to \_):
\neg\bigl[\exists x(Px\to Qa)\;\to\;( \exists x\,Px\;\to\;Qa)\bigr]
Gera as fórmulas
\exists x(Px\to Qa), \quad \neg\bigl(\exists x\,Px\;\to\;Qa\bigr).
Em seguida aplicamos de novo \neg(\_ \to \_) na segunda:
\exists x(Px\to Qa), \quad \exists x\,Px, \quad \neg Qa.

Passo 3

Agora expandimos cada existencial usando a mesma constante nova b:
Pb\to Qa, \quad Pb, \quad \neg Qa.

Passo 4

Expandimos a implicação Pb\to Qa criando dois ramos:
  • Ramo 1: \neg Pb
  • Ramo 2: Qa
No ramo 1 há \neg Pb e Pb, contradição.
No ramo 2 há Qa e \neg Qa, contradição.
Todos os ramos fecham, portanto a negação leva a contradição.

Resposta

A fórmula \exists x(Px\to Qa)\to(\exists x\,Px\to Qa) é válida.

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