Dada a expressão para o n-ésimo termo
de uma sequência, ache seus três primeiros termos e determine se converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os três primeiros termos da sequência definida por
e depois descobrir se essa sequência converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, especificamente a fórmula do termo geral e o critério de convergência para sequências geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o primeiro termo da sequência, que é quando
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o segundo termo, com
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o terceiro termo, onde
.
Passo 5
Agora que temos os três primeiros termos, vamos ver se a sequência converge ou diverge. Uma sequência geométrica da forma
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
No nosso caso,
e
, que é menor que 1. Isso significa que a sequência converge.
Para encontrar o limite, calculamos:
Resposta
Os três primeiros termos da sequência são
,
e
. A sequência converge e o seu limite é 0.