Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=2^3 x1+e^x

Passo 1

Temos a equação y''-3y'+2y=2^3x1+e^x. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas com coeficientes constantes, e vamos usar o método de variação de parâmetros, que exige primeiro encontrar a solução complementar da parte homogênea.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea y''-3y'+2y=0. A equação característica é
r^2-3r+2=0
que fatorada dá (r-1)(r-2)=0, com raízes r=1 e r=2. Logo, a solução complementar é
yh(x)=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, procuramos uma solução particular da forma
yp(x)=-y1(x)integral y2(x)f(x)W(x),dx,+,y2(x)integral y1(x)f(x)W(x),dx,
onde y1=e^x, y2=e^2x, f(x)=2^3x1+e^x e W(x) é o wronskiano de y1,y2.

Passo 4

Calculamos o wronskiano:
W(x)=y1 & y2 y1' & y2' =e^x & e^2x e^x & 2e^2x =(e^x)(2e^2x)-(e^x)(e^2x)=e^3x

Passo 5

Assim, os coeficientes são
u1'(x)=-y2(x)f(x)W(x)=-e^2xcdot2^3x1+e^xe^3x=-2^3xe^-x1+e^x,
u2'(x)=y1(x)f(x)W(x)=e^xcdot2^3x1+e^xe^3x=2^3xe^-2x1+e^x

Passo 6

Integramos para obter nu1(x) e nu2(x), e montamos
yp(x)=-e^xintegral2^3xe^-x1+e^x,dx,+,e^2xintegral2^3xe^-2x1+e^x,dx
Portanto, a solução geral é a combinação da parte homogênea com esta particular por integrais.

Passo 7

A solução geral da equação é a soma de yh com yp.

Resposta

$y(x)=C_1ex+C_2e{2x}-ex\int\frac{2{3x}e{-x}}{1+ex},dx+e{2x}\int\frac{2{3x}e{-2x}}{1+ex},dx$

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