Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x1+e^x
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
c. yp(x)=(ln (1+e^x)) e^2 x+(-1-e^x+ln (1+e^x)) e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'+2y=e^3x1+e^x,
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar conhecer a solução geral da equação homogênea associada, o Wronskiano das soluções fundamen­tais e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea
y''-3y'+2y=0
O polinômio característico é
r^2-3r+2=0
com raízes r=1 e r=2. Logo, duas soluções independentes são
y1(x)=e^x, y2(x)=e^2x

Passo 3

Na variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
yp(x)=u1(x)e^x+u2(x)e^2x,
onde
$$u_1’=-\frac{y_2,f(x)}{W(y_1,y_2)},
\quad
u_2’=\frac{y_1,f(x)}{W(y_1,y_2)},$$
e u1'=-y2,f(x)W(y1,y2), u2'=y1,f(x)W(y1,y2),.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
[W(y_1,y_2)= e^x & e^2x e^x & 2e^2x
=ex\cdot2e{2x}-e^{2x}\cdot ex=e{3x}.

Passo 5

Agora
u1'=-e^2xcdote^3x1+e^xe^3x=-e^2x1+e^x, u2'=e^xcdote^3x1+e^xe^3x=e^x1+e^x

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
Usando t=e^x e dt=e^x dx,
u1=integral-e^2x1+e^xdx=-e^x+ln(1+e^x), u2=integrale^x1+e^xdx=ln(1+e^x)

Passo 7

Construímos então
$$y_p(x)=u_1ex+u_2e{2x}=igl(-ex+\ln(1+ex)\bigr)ex+\ln(1+ex)e^{2x}.
yp(x)=u1e^x+u2e^2x=igl(-e^x+ln(1+e^x)r)e^x+ln(1+e^x)e^2x çãçõêy_p(x)=\ln(1+ex)e{2x}+(-1-ex+\ln(1+ex))e^x,
$$
que coincide exatamente com a alternativa c, salvo um termo homogêneo.

Passo 8

Concluímos que a particular dada pela alternativa c difere da nossa apenas por uma solução homogênea, sendo portanto válida como solução particular.

Resposta

A alternativa c está correta.

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