Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x1+e^x
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
d. yp(x)=(ln (1+e^x)) e^2 x+(1+e^x+ln (1+e^x)) e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = e^3x1+e^x
Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular. Precisamos antes da solução geral da homogênea.

Passo 2

Resolver a parte homogênea: a equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
Suas raízes são r=1 e r=2, portanto
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Configurar variação de parâmetros: buscamos
yp(x) = u1(x)e^x + u2(x)e^2x
As derivadas obedecem ao sistema (com Wronskiano W = e^3x):

Passo 4

u1'(x)e^x + u2'(x)e^2x = 0, u1'(x)e^x + 2u2'(x)e^2x = e^3x1+e^x

Passo 5

Da subtração das duas equações vem
u2'(x)e^2x = e^3x1+e^x ,Longrightarrow, u2'(x) = e^x1+e^x
Integrando:
u2(x) = lnl(1+e^xr)

Passo 6

Para u1'(x) usamos a primeira equação:
u1'(x)e^x = -e^3x1+e^x ,Longrightarrow, u1'(x) = -e^2x1+e^x
Integrando:
u1(x) = -l(e^x - ln(1+e^x)r) = ln(1+e^x) - e^x

Passo 7

Construindo yp:
yp = u1 e^x + u2 e^2x = l(ln(1+e^x)-e^xr)e^x + ln(1+e^x)e^2x
Isso dá
yp = ln(1+e^x)e^2x + ln(1+e^x)e^x - e^2x
Comparando com a alternativa dada
yp,d = ln(1+e^x)e^2x + (1+e^x+ln(1+e^x))e^x,
vemos que a diferença entre as duas é um vetor na variedade homogênea (combinação de e^x e e^2x), logo ambas são válidas como solução particular.

Resposta

A alternativa d está correta.

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