Verifique se as funções são linearmente dependentes:
1, \sin ^{2} x, \cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções \;f_1(x)=1,\;f_2(x)=\sin^2 x,\;f_3(x)=\cos2x
são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar a definição: elas são dependentes se existe uma combinação linear não trivial
a\,f_1(x)+b\,f_2(x)+c\,f_3(x)=0\quad\text{para todo }x
com (a,b,c)\neq(0,0,0).

Passo 2

Lembramos do truque de trigonometria que relaciona \sin^2x e \cos2x:
\cos2x = 1 - 2\sin^2 x.

Passo 3

Reescrevendo essa identidade em forma de combinação linear, temos:
\cos2x + 2\sin^2 x - 1 = 0.
Isto é exatamente
(-1)\cdot1 + 2\cdot\sin^2 x + 1\cdot\cos2x = 0
para todo x.

Passo 4

Encontramos coeficientes (a,b,c)=(-1,2,1)\neq(0,0,0) que satisfazem a combinação linear nula. Isso prova a dependência linear.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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