Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem não homogênea e vamos usar a troca de variável para reduzir a ordem e em seguida método do fator integrante.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem não homogênea e vamos usar a troca de variável
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte homogênea
Com
isso vira
Separando variáveis:
Logo a solução geral homogênea para
é
Passo 3
Agora tratamos a parte particular impondo ainda
. A equação em
é
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integrando:
Passo 4
Integramos
para obter
:
Assim a solução geral é
Passo 5
Usamos
e
. Primeiro
.
- Em
:
- Em
:
Resposta
ou, escrevendo em forma de polinômio único,