Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem:
y^{\prime \prime}-y^{\prime} /(x-1)=x(x-1) ; y(2)=1, y^{\prime}(2)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-\frac{y'}{x-1}=x(x-1)
com as condições iniciais y(2)=1 e y'(2)=-1.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem não homogênea e vamos usar a troca de variável v=y' para reduzir a ordem e em seguida método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y''-\frac{y'}{x-1}=0.
Com v=y' isso vira
v' - \frac{v}{x-1}=0.
Separando variáveis:
\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x-1} \quad\Longrightarrow\quad \ln|v|=\ln|x-1|+C_1 \quad\Longrightarrow\quad v=C\,(x-1).
Logo a solução geral homogênea para y é
y_h=C\int (x-1)\,dx + D =C\Bigl(\frac{x^2}{2}-x\Bigr)+D.

Passo 3

Agora tratamos a parte particular impondo ainda v=y'. A equação em v é
v' - \frac{v}{x-1}=x(x-1).
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(-\int\frac{1}{x-1}dx\Bigr) =\frac{1}{x-1}.
Multiplicando a equação por \mu:
\frac{1}{x-1}v' - \frac{1}{(x-1)^2}v =\;x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{v}{x-1}\Bigr)=x.
Integrando:
\frac{v}{x-1}=\frac{x^2}{2}+C_1 \quad\Longrightarrow\quad v=y'=(x-1)\Bigl(\frac{x^2}{2}+C_1\Bigr) =\frac{x^3-x^2}{2}+C_1(x-1).

Passo 4

Integramos v=y' para obter y:
y=\int y'\,dx =\int\Bigl(\frac{x^3-x^2}{2}+C_1(x-1)\Bigr)dx =\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6} +C_1\Bigl(\frac{x^2}{2}-x\Bigr)+C_2.
Assim a solução geral é
y(x)=\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6} +C_1\Bigl(\frac{x^2}{2}-x\Bigr)+C_2.

Passo 5

Usamos y(2)=1 e y'(2)=-1. Primeiro y'(x)=\frac{x^3-x^2}{2}+C_1(x-1).
  1. Em x=2:
y'(2)=\frac{8-4}{2}+C_1(1)=2+C_1=-1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-3.
  1. Em x=2:
y(2)=\frac{16}{8}-\frac{8}{6} -3\Bigl(\frac{4}{2}-2\Bigr)+C_2 =2-\frac{4}{3}-3\cdot0+C_2 =\frac{2}{3}+C_2=1 \quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac{1}{3}.

Resposta

\boxed{ y(x)=\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6} -3\Bigl(\frac{x^2}{2}-x\Bigr)+\frac{1}{3} }
ou, escrevendo em forma de polinômio único,
y(x)=\frac{3x^4-4x^3-36x^2+72x+8}{24}.

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