Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 x1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação y'' + 4y' + 4y = tfrace^-2x1+x^2 pelo método da variação de parâmetros. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não homogênea. Vamos precisar: (1) da solução da homogênea, (2) das fórmulas de variação de parâmetros, (3) do Wronskiano e (4) das integrais para as funções variáveis u1(x) e u2(x).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea y'' + 4y' + 4y = 0. A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
que fatoriza como (r+2)^2 = 0, raiz dupla r = -2. Logo, as soluções fundamentais são
y1(x) = e^-2x,
y2(x) = x e^-2x

Passo 3

Pelo método da variação de parâmetros, buscamos uma solução particular na forma
yp = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)
As funções u1 e u2 satisfazem o sistema
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = dfrace^-2x1+x^2

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y1' y2
com
y1' = -2e^-2x,
y2' = e^-2x - 2x e^-2x = e^-2x(1-2x)
Logo
W = e^-2xcdot e^-2x(1-2x) - (-2e^-2x)cdot x e^-2x = e^-4x[(1-2x) + 2x] = e^-4x
As fórmulas para u1' e u2' são
u1' = -y2,f(x)W,
u2' = y1,f(x)W,
onde f(x)=e^-2x/(1+x^2).

Passo 5

Substituindo:
u1' = -x e^-2xcdot tfrace^-2x1+x^2e^-4x = -x1+x^2,
u2' = e^-2xcdot tfrace^-2x1+x^2e^-4x = 11+x^2
Integramos:
u1(x) = -integral x1+x^2,dx = -12ln(1+x^2),
u2(x) = integral 11+x^2,dx = arctan(x)

Passo 6

Agora a solução particular é
yp = u1 y1 + u2 y2 = -12ln(1+x^2)e^-2x + arctan(x),x e^-2x
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-2x(C1 + C2 x) - tfrac12 e^-2xln(1+x^2) + x e^-2xarctan(x),
ou reunindo em um único fator e^-2x:
y(x) = e^-2xl(C1 + C2 x - tfrac12ln(1+x^2) + xarctan(x)r)

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