O enunciado pede para resolver a equação pelo método da variação de parâmetros. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não homogênea. Vamos precisar: (1) da solução da homogênea, (2) das fórmulas de variação de parâmetros, (3) do Wronskiano e (4) das integrais para as funções variáveis e .
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea . A equação característica é
que fatoriza como , raiz dupla . Logo, as soluções fundamentais são
Passo 3
Pelo método da variação de parâmetros, buscamos uma solução particular na forma
As funções e satisfazem o sistema
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y1' y2
com
y1' = -2e^-2x,
y2' = e^-2x - 2x e^-2x = e^-2x(1-2x)
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W = e^-2xcdot e^-2x(1-2x) - (-2e^-2x)cdot x e^-2x = e^-4x[(1-2x) + 2x] = e^-4x