Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+9 y=9 csc (3 x),(0<x<pi3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação
y'' + 9,y = 9,csc(3x), 0<x<pi3
O conteúdo necessário é ( 1) encontrar a solução geral da homogênea y''+9y=0, ( 2) escolher uma base de soluções fundamentais y1,y2, ( 3) calcular o wronskiano W e ( 4) aplicar a fórmula de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A homogênea y''+9y=0 tem raízes pm 3i. Logo,
yh = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)
Tomamos
y1 = cos(3x), y2 = sin(3x)
O wronskiano é
W = cos(3x) & sin(3x) [6pt] -3sin(3x) & 3cos(3x) = 3l(cos^2(3x) + sin^2(3x)r) = 3
A função não homogênea é g(x) = 9,csc(3x). As derivadas dos parâmetros são
u1' = -y2 , gW = -sin(3x) , 9 , csc(3x)3 = -3, u2' = y1 , gW = cos(3x) , 9 , csc(3x)3 = 3cot(3x)

Passo 3

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = integral u1',dx = integral -3,dx = -3x, u2 = integral u2',dx = integral 3cot(3x),dx = lnl|sin(3x)r|
Então a solução particular por variação de parâmetros é
yp = u1,y1 + u2,y2 = (-3x)cos(3x) + lnl|sin(3x)r|;sin(3x)
No intervalo (0,tfracpi3), temos sin(3x)>0, então podemos omitir o valor absoluto.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) ;+; l[-3xcos(3x) + sin(3x),lnl(sin(3x)r)r]

Resposta

boxedy(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x);-;3xcos(3x);+;sin(3x),ln!l(sin(3x)r)

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