Resolva pelos métodos Gráfico (Quando possível) e SIMPLEX
5. max f(x)=3 x1+2 x2
cc 2 x1+x2 & <= 6 x1+2 x2 & <= 6 x1, x2 & >= 0
Resposta: x1=x2=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de programação linear
max f(x)=3x1+2x2
sujeito a
2x1+x2<=6, x1+2x2<=6, x1,x2>=0,
usando o método gráfico (quando possível) e o método Simplex. Vamos primeiro determinar a região viável e os vértices pelo gráfico e depois montar o tableau do Simplex.

Passo 2

Para o método gráfico, cada desigualdade corresponde a uma reta no plano x1x2. As interseções com os eixos são:
2x1+x2=6implies x1=0Rightarrow x2=6, x2=0Rightarrow x1=3,
x1+2x2=6implies x1=0Rightarrow x2=3, x2=0Rightarrow x1=6
A região viável é o polígono convexo limitado por essas retas e pelos eixos. Seus vértices são
(0,0),;(3,0),;(0,3) e a interseção de 2x1+x2=6 com x1+2x2=6 çã

Passo 3

A interseção das duas restrições é solução do sistema
2x1+x2=6, x1+2x2=6
Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira:
2x1+x2-2(x1+2x2)=6-12implies -3x2=-6implies x2=2,
e daí x1=2. Agora avaliamos f nos quatro vértices:
f(0,0)=0, f(3,0)=9, f(0,3)=6, f(2,2)=3cdot2+2cdot2=10
O maior valor é 10 em (2,2), logo (x1,x2)=(2,2) é a solução ótima.

Passo 4

No método Simplex, introduzimos variáveis de folga s1,s2>=0 para escrever as restrições como equações:
2x1+x2+s1=6, x1+2x2+s2=6, x1,x2,s1,s2>=0
Escrevemos o tableau inicial:
c|cccc|c & x1 & x2 & s1 & s2 & RHShline s1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 6 s2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 6hline z & -3 & -2 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Aplicamos pivoteamento para eliminar os coeficientes negativos na linha z:
  1. x1 entra (coeficiente -3 mais negativo) e sai s1 (menor razão 6/2=3).
    Dividimos a linha de s1 por 2 e eliminamos x1 das demais linhas, obtendo:
    c|cccc|c & x1 & x2 & s1 & s2 & RHShline x1 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 & 3 s2 & 0 & tfrac32 & -tfrac12 & 1 & 3hline z & 0 & -tfrac12 & tfrac32 & 0 & 9
  2. Agora x2 entra (coeficiente -tfrac12) e sai s2 (menor razão 3/(3/2)=2).
    Dividimos a linha de s2 por 3/2 e eliminamos x2 das demais linhas, ficando:
    c|cccc|c & x1 & x2 & s1 & s2 & RHShline x1 & 1 & 0 & tfrac23 & -tfrac13 & 2 x2 & 0 & 1 & -tfrac13 & tfrac23 & 2hline z & 0 & 0 & tfrac43 & tfrac13 & 10
Não há coeficientes negativos na linha z, indicando otimalidade.

Passo 6

A base ótima é x1,x2 com valores ,x1=2, x2=2, e todas as folgas s1=s2=0. O valor máximo é z=10.

Resposta

x1=2, x2=2

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