Resolva pelos métodos Gráfico (Quando possível) e SIMPLEX
7. min f(x)=-2 x1-3 x2
cl x1 & <= 8 x2 & <= 4 -2 x1+x2 & <= 5 x1, x2 & >= 0
Resposta: x1=8, x2=4, f(x)=-28.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar
f(x) = -2x1 - 3x2
sujeito a
x1 <= 8, x2 <= 4, -2x1 + x2 <= 5, x1,x2 >= 0
O conteúdo é Programação Linear em duas variáveis. Vamos primeiro usar o método gráfico para encontrar a região viável e depois aplicar o Método Simplex transformando a minimização em maximização.

Passo 2

Pelo gráfico, cada desigualdade define um semiespaço:
x1 <= 8 é tudo à esquerda da reta x1=8.
x2 <= 4 é tudo abaixo da reta x2=4.
-2x1+x2<=5 equivale a x2<=5+2x1, que no retângulo 0<= x1<=8,;0<= x2<=4 é automaticamente satisfeita (em x1=0 x2<=5, em x1=8 x2<=21).
Logo, a região viável é o retângulo definido por
0 <= x1 <= 8, 0 <= x2 <= 4

Passo 3

Os vértices desse retângulo são
(0,0),;(8,0),;(0,4),;(8,4)

Passo 4

Avaliamo-los na função objetivo:
f(0,0)&=0, f(8,0)&=-2cdot 8 -3cdot 0 = -16, f(0,4)&=-2cdot 0 -3cdot 4 = -12, f(8,4)&=-2cdot 8 -3cdot 4 = -16 -12 = -28
O menor valor é -28 em (8,4).

Passo 5

Pelo método gráfico, a solução ótima é
x1=8, x2=4, f(x)=-28

Passo 6

Para o Método Simplex convertemos a minimização em maximização definindo
z = -f(x) = 2x1 + 3x2
e introduzimos variáveis de folga s1,s2,s3 para transformar as desigualdades em igualdades:
x1 + s1 = 8, x2 + s2 = 4, -2x1 + x2 + s3 = 5, x1,x2,s1,s2,s3 >= 0

Passo 7

Montamos a tabela inicial do Simplex (objetivo max z = 2x1+3x2):
c|rrrrr|r VB & x1 & x2 & s1 & s2 & s3 & RHShline s1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 8 s2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 4 s3 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 5hline z & -2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

  1. Entrada de x2 (coluna mais negativa em z é -3). Razões: 8/0 indefinida, 4/1=4, 5/1=5. Sai s2.
  2. Pivô em linha s2, coluna x2. Atualiza tabela.
  3. A seguir, entra x1 (único coeficiente negativo em z após o primeiro pivô é -2). Razões: linha s1: 8/1=8, linha s3: 1/(-2) não conta. Sai s1.
  4. Pivô em linha s1, coluna x1.
Após duas iterações, não há mais coeficientes negativos na linha z. A solução básica viável é
x1=8, x2=4, s1=s2=0, s3=17,
com
zmax=28Longrightarrow fmin=-28

Resposta

x1=8,;x2=4,;f(x)=-28.

Exercícios relacionados