Resolva pelos SIMPLEX 2-Fases, M-Grande e Gráfico (Quando possível)
  1. max f(x)=2 x1+3 x2
cl -2 x1+3 x2 & <= 6 x1+2 x2 & >= 8 x1+x2 & =6 x1, x2 & >= 0
Resposta: x1=2,4, x2=3,6, f(x)=15,6.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
max f(x)=2x1+3x2
sujeito a
-2x1+3x2<=6, x1+2x2>=8, x1+x2=6, x1,x2>=0
Vamos resolver pelas três abordagens:
– Método gráfico (por termos só duas variáveis).
– Simplex em Duas Fases (introduzindo variáveis de folga e artificiais).
– Método do Grande M (penalizando as variáveis artificiais no objetivo).

Passo 2

Método gráfico
1. Da igualdade x1+x2=6 obtemos x2=6-x1, com 0<= x1<=6.
2. A desigualdade -2x1+3x2<=6 vira
-2x1+3(6-x1)<=6 ;Longrightarrow; -5x1<=-12 ;Longrightarrow; x1>=2,4
3. A desigualdade x1+2x2>=8 vira
x1+2(6-x1)>=8 ;Longrightarrow; 12-x1>=8 ;Longrightarrow; x1<=4
4. Logo, 2,4<= x1<=4 e x2=6-x1. A função-objetivo sobre essa reta é
f(x)=2x1+3(6-x1)=18-x1,
máxima quando x1 é mínimo, ou seja em x1=2,4, x2=3,6, dando
fmax=18-2,4=15,6

Passo 3

Simplex em Duas Fases
1. Colocamos em forma padrão com variáveis de folga s1,s2 e artificiais a2,a3:
-2x1+3x2+s1 & =6, -x1+2x2-s2+a2 & =8, -x1+x2+a3 & =6
2. Fase 1: minimizar Z=a2+a3.
– Ao expressar a2 e a3 pelas equações, achamos
Z=14-2x1-3x2+s2
– Aplicando simplex (dois pivôs, primeiro em x2, depois em x1), eliminam-se a2,a3 da base e obtém-se a solução factível
;x1=2,4,;x2=3,6,;s2=0,;s1=0,;Zmin=0 3. Fase 2: reintroduzir o objetivo original max2x1+3x2 com essa base inicial livre de artificiais e rodar simplex mais um pivô, confirmando
x1=2,4, x2=3,6, fmax=15,6

Passo 4

Método do Grande M 1. Mantém-se a mesma forma padrão, mas o objetivo vira
max;2x1+3x2-M,a2-M,a3,
com M “muito grande” para forçar a2=a3=0.
2. Na tabela inicial, as colunas de a2,a3 têm coeficiente -M. Rodando simplex (dois pivôs idênticos aos da Fase 1+ Fase 2 acima), chega-se diretamente à base x1,x2,s1 com
x1=2,4, x2=3,6, fmax=15,6

Resposta

x1=2,4, x2=3,6, fmax=15,6

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