Faça o gráfico da extensão par de
f(x)=\sqrt{x}, \quad 0<x<1 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x} definida em 0<x<1 e pede: "faça o gráfico da extensão par de f".
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão original é f(x)=\sqrt{x} válida somente para 0<x<1.
  • O intervalo de definição que temos é o aberto (0,1).
    O que se deve entregar:
  • A função estendida (a extensão par) definida num intervalo que contenha valores negativos também, e o gráfico correspondente dessa extensão.

Passo 2

O que significa “extensão par” (explicação didática).
  • Uma função g é par se g(-x)=g(x) para todo x no domínio de g.
  • Para criar a extensão par de uma função dada apenas em x>0, a maneira natural é definir a nova função G por
G(x)=f(|x|).
Aqui a ideia é: para x\ge0 manter G(x)=f(x), e para x<0 definir G(x)=f(-x). Assim G fica simétrica em relação ao eixo y (espelhada).
Aplicando isso ao caso f(x)=\sqrt{x}, tenho a definição proposta
G(x)=\sqrt{|x|}.
Explicando as variáveis nessa fórmula: a variável x é qualquer número com -1<x<1 (porque o original só era definido até |x|<1). O símbolo |x| é o valor absoluto de x, isto é, |x|=x se x\ge0 e |x|=-x se x<0.

Passo 3

Definição final e domínio (com justificativa para x=0).
  • Para x>0 temos G(x)=\sqrt{x} (igual ao original).
  • Para x<0 temos G(x)=\sqrt{-x} (espelho da direita para a esquerda).
  • Em x=0 é natural definir G(0)=\lim_{t\to0^+}\sqrt{t}=0. Assim G fica contínua em 0.
    Portanto a extensão par é
G(x)=\sqrt{|x|},\qquad -1<x<1,
com G(0)=0. (Mantive o intervalo aberto porque o enunciado original dava 0<x<1; se for desejado incluir \pm1 pode-se definir G(\pm1)=1, mas com o dado original trabalhamos em (-1,1).)

Passo 4

Comportamento da função e pontos para desenhar (como fazer o gráfico na prova, passo-a-passo).
  1. Valores simples para plotar no lado direito ( x\ge0):
  • \;x=0\Rightarrow G(0)=0.
  • \;x=\tfrac{1}{4}\Rightarrow G\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}.
  • \;x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow G\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\approx 0,707.
  • \;x=\tfrac{3}{4}\Rightarrow G\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\sqrt{\tfrac{3}{4}}\approx 0,866.
  1. Para cada um desses pontos do lado esquerdo ( x<0) o valor é o mesmo por simetria (por exemplo G(-\tfrac{1}{4})=G(\tfrac{1}{4})=\tfrac{1}{2}).
  2. Traçado do gráfico: desenhe o ramo clássico de y=\sqrt{x} para 0\le x<1 passando por (0,0),(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}),(\tfrac{1}{2},0,707) etc., e em seguida copie esse ramo refletido em torno do eixo y para o lado negativo (ou seja, espelhe pontos (a,b) para (-a,b)). O gráfico resultante é simétrico em relação ao eixo vertical.
  3. Forma local em x=0: a inclinação das curvas tende a infinito em módulo ao se aproximar de 0 (o derivado à direita de \sqrt{x} é f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, que vai para +\infty quando x\to0^+; à esquerda a derivada de \sqrt{-x} é -\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}, que vai para -\infty quando x\to0^-). Portanto o gráfico tem um “ponto agudo” vertical simétrico em 0: continua mas não é diferenciável em 0.

Passo 5

Resumo do passo a passo prático para desenhar na prova (receita rápida):
  • Desenhe os eixos e marque o intervalo -1<x<1.
  • Plote os pontos do lado direito: (0,0),(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}),(\tfrac{1}{2},\approx0,707),(\tfrac{3}{4},\approx0,866).
  • Espelhe esses pontos no lado esquerdo: (- \tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}), etc.
  • Una os pontos com a curva característica de y=\sqrt{x} à direita e sua imagem espelhada à esquerda. Lembre-se que a curva sobe devagar à medida que |x| cresce e tem tangente “vertical” aproximada em 0.

Resposta

G(x)=\sqrt{|x|},\quad -1<x<1, com G(0)=0.

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