Faça o gráfico da extensão par de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede: "faça o gráfico da extensão par de
".
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão original é
válida somente para . - O intervalo de definição que temos é o aberto
.
O que se deve entregar: - A função estendida (a extensão par) definida num intervalo que contenha valores negativos também, e o gráfico correspondente dessa extensão.
Passo 2
O que significa “extensão par” (explicação didática).
- Uma função
é par se para todo no domínio de . - Para criar a extensão par de uma função dada apenas em
, a maneira natural é definir a nova função por
Aqui a ideia é: para
manter
, e para
definir
. Assim
fica simétrica em relação ao eixo
(espelhada).
Aplicando isso ao caso , tenho a definição proposta
Aplicando isso ao caso
Explicando as variáveis nessa fórmula: a variável
é qualquer número com
(porque o original só era definido até
). O símbolo
é o valor absoluto de
, isto é,
se
e
se
.
Passo 3
Definição final e domínio (com justificativa para
).
- Para
temos (igual ao original). - Para
temos (espelho da direita para a esquerda). - Em
é natural definir . Assim fica contínua em .
Portanto a extensão par é
com
. (Mantive o intervalo aberto porque o enunciado original dava
; se for desejado incluir
pode-se definir
, mas com o dado original trabalhamos em
.)
Passo 4
Comportamento da função e pontos para desenhar (como fazer o gráfico na prova, passo-a-passo).
- Valores simples para plotar no lado direito (
):
-
. -
-
-
- Para cada um desses pontos do lado esquerdo (
) o valor é o mesmo por simetria (por exemplo ). - Traçado do gráfico: desenhe o ramo clássico de
para passando por etc., e em seguida copie esse ramo refletido em torno do eixo para o lado negativo (ou seja, espelhe pontos para ). O gráfico resultante é simétrico em relação ao eixo vertical. - Forma local em
: a inclinação das curvas tende a infinito em módulo ao se aproximar de (o derivado à direita de é , que vai para quando ; à esquerda a derivada de é , que vai para quando ). Portanto o gráfico tem um “ponto agudo” vertical simétrico em : continua mas não é diferenciável em .
Passo 5
Resumo do passo a passo prático para desenhar na prova (receita rápida):
- Desenhe os eixos e marque o intervalo
. - Plote os pontos do lado direito:
. - Espelhe esses pontos no lado esquerdo:
, etc. - Una os pontos com a curva característica de
à direita e sua imagem espelhada à esquerda. Lembre-se que a curva sobe devagar à medida que cresce e tem tangente “vertical” aproximada em .