Resolva numericamente a EDO
com condição inicial
para
usando o Método de Euler com passo
.
Passo 1
O enunciado pede que aproximemos numericamente a solução da equação diferencial ordinária
com condição inicial
no intervalo
usando o Método de Euler explícito com passo
.
Informações dadas e o que devemos obter:
Informações dadas e o que devemos obter:
- A EDO:
- Condição inicial:
- Intervalo:
- Passo do método:
- Devemos calcular as aproximações nos nós
(ou seja, ) usando o Método de Euler.
Passo 2
Explicando o Método de Euler (passo a passo, tipo “cola de prova”): a ideia é aproximar a derivada por uma taxa constante no intervalo pequeno
, usando a inclinação dada pela função do lado direito da EDO. Se chamarmos
, a fórmula do Euler explícito é
Aqui:
-
é a aproximação de . -
é o ponto . -
é o passo (distância entre nós). -
é a função que aparece na EDO (a derivada em função de e ).
No nosso problema. Começamos com e . O número de passos para ir de até com passo é
logo precisaremos calcular
e
.
Passo 3
Preparando os primeiros dados (nó inicial):
-
. -
.
Aplicamos a fórmula com. Primeiro calculamos :
Agora usamos a fórmula de Euler:
Fazendo a conta:
Passo 4
Próximo passo
: temos
e a aproximação obtida
. Calculamos
Aplicando a fórmula de Euler para obter
:
Fazendo a conta:
Passo 5
Comentário didático sobre o resultado e por que as contas ficaram simples: a função que define a derivada é
. A EDO linear dada tem solução exata
(pode ser verificado resolvendo a EDO por fator integrante). Para essa solução exata a derivada é constante
, então a inclinação usada pelo Método de Euler em cada passo foi exatamente a correta, e por isso as aproximações coincidiram com a solução exata nos nós usados. Em geral, Euler tem erro, mas para este problema específico (solução linear com inclinação constante) o método dá valores exatos nos nós.