Resolva numericamente a EDO \frac{d y}{d x}=y-x com condição inicial y(0)=1 para x \in[0,0.2] usando o Método de Euler com passo h=0.1.

Passo 1

O enunciado pede que aproximemos numericamente a solução da equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=y-x
com condição inicial \;y(0)=1\; no intervalo [0,0,2] usando o Método de Euler explícito com passo \;h=0,1.
Informações dadas e o que devemos obter:
  • A EDO: \displaystyle \frac{dy}{dx}=y-x.
  • Condição inicial: \;y(0)=1.
  • Intervalo: [0,0,2].
  • Passo do método: \;h=0,1.
  • Devemos calcular as aproximações nos nós \;x=0,0{,}1,0{,}2\; (ou seja, \;y_0,y_1,y_2\;) usando o Método de Euler.

Passo 2

Explicando o Método de Euler (passo a passo, tipo “cola de prova”): a ideia é aproximar a derivada por uma taxa constante no intervalo pequeno [x_n,x_{n+1}], usando a inclinação dada pela função do lado direito da EDO. Se chamarmos \;f(x,y)=y-x\;, a fórmula do Euler explícito é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
Aqui:
  • \;y_n\; é a aproximação de y(x_n).
  • \;x_n\; é o ponto x_n=x_0+n h.
  • \;h\; é o passo (distância entre nós).
  • \;f(x,y)\; é a função que aparece na EDO (a derivada em função de x e y).
    No nosso problema \;f(x,y)=y-x. Começamos com \;x_0=0 e \;y_0=1. O número de passos para ir de 0 até 0{,}2 com passo 0{,}1 é
N=\frac{0{,}2-0}{0{,}1}=2,
logo precisaremos calcular \;y_1\; e \;y_2.

Passo 3

Preparando os primeiros dados (nó inicial):
  • x_0=0.
  • y_0=1.
    Aplicamos a fórmula com n=0. Primeiro calculamos f(x_0,y_0):
f(x_0,y_0)=y_0-x_0 = 1-0 = 1.
Agora usamos a fórmula de Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0) = 1 + 0{,}1\cdot 1.
Fazendo a conta:
y_1 = 1 + 0{,}1 = 1{,}1.

Passo 4

Próximo passo n=1: temos x_1=x_0+h=0+0{,}1=0{,}1 e a aproximação obtida y_1=1{,}1. Calculamos
f(x_1,y_1)=y_1-x_1 = 1{,}1 - 0{,}1 = 1{,}0.
Aplicando a fórmula de Euler para obter y_2:
y_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1) = 1{,}1 + 0{,}1\cdot 1{,}0.
Fazendo a conta:
y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 = 1{,}2.

Passo 5

Comentário didático sobre o resultado e por que as contas ficaram simples: a função que define a derivada é \;f(x,y)=y-x. A EDO linear dada tem solução exata \;y(x)=x+1 (pode ser verificado resolvendo a EDO por fator integrante). Para essa solução exata a derivada é constante \;y'(x)=1, então a inclinação usada pelo Método de Euler em cada passo foi exatamente a correta, e por isso as aproximações coincidiram com a solução exata nos nós usados. Em geral, Euler tem erro, mas para este problema específico (solução linear com inclinação constante) o método dá valores exatos nos nós.

Resposta

y(0)=1
y(0{,}1)\approx 1{,}1
y(0{,}2)\approx 1{,}2

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