O que significa o erro de truncamento em um método de integração numérica? Como ele se relaciona com o número de subintervalos utilizados?

Passo 1

O que o enunciado quer:
  • Explicar o que significa o “erro de truncamento” em um método de integração numérica.
  • Dizer como esse erro se relaciona com o número de subintervalos usados na aproximação.
Informações relevantes (o que já sabemos do enunciado):
  • Não foram dadas funções nem intervalos específicos — a pergunta é conceitual e pede também a relação quantitativa entre erro e número de subintervalos.
  • Espera-se uma explicação didática, com exemplos de regras comuns (por exemplo, trapézio e Simpson) e como o erro muda quando eu aumento o número de subintervalos.

Passo 2

O que é, em palavras simples, o erro de truncamento:
  • Quando construímos uma regra de integração (como regra do trapézio, regra do ponto médio, regra de Simpson) nós aproximamos a integral exata por uma expressão finita que geralmente vem de truncar a série de Taylor de f ou de aproximar f por um polinômio local.
  • O “erro de truncamento” é justamente o erro introduzido por essa aproximação — é a diferença entre a integral verdadeira e o valor aproximado devido a termos da série (ou termos do polinômio) que foram descartados.
  • Intuitivamente: eu aproximo uma curva por uma reta ou por um polinômio de baixo grau em cada subintervalo; o erro de truncamento mede o quanto a curva real difere dessa aproximação.

Passo 3

Local vs. global (muito importante):
  • Local truncation error (erro local): erro cometido em um único subintervalo de largura h quando aplico a regra naquele pedaço. Costuma ter ordem maior em h (por exemplo O(h^3) para o trapézio em um subintervalo).
  • Global truncation error (erro total ou composto): somatório dos erros locais ao longo de todos os subintervalos do intervalo [a,b]. Se há n subintervalos e h=(b-a)/n, então somar n erros locais costuma reduzir a ordem em h em uma potência (explico na prática nos próximos passos).
  • Regra prática: se o erro local for O(h^{p+1}) então o erro global do método composto costuma ser O(h^{p}). Esse expoente p é o “ordem” do método.

Passo 4

Derivação didática curta para a regra do trapézio (para sentir de onde vem o termo “truncamento”):
  • Considere a integral em um subintervalo [x_0,x_0+h]. Expanda f em Taylor ao redor de x_0:
f(x_0+t)=f(x_0)+t f'(x_0)+\tfrac{t^2}{2}f''(x_0)+\tfrac{t^3}{6}f^{(3)}(\xi(t)),
onde 0\le t\le h e \xi(t) está entre x_0 e x_0+t.
  • Integrando de t=0 a t=h obtemos a integral exata no subintervalo. A regra do trapézio para esse subintervalo usa
\text{Trap}_{\text{local}} = \tfrac{h}{2}\bigl(f(x_0)+f(x_0+h)\bigr).
  • Subtraindo e usando a expansão, chega-se (após simplificações que você pode repetir passo a passo na prova) à forma
\int_{x_0}^{x_0+h} f(x)\,dx = \tfrac{h}{2}\bigl(f(x_0)+f(x_0+h)\bigr) - \tfrac{h^3}{12} f''(\xi)
para algum \xi\in(x_0,x_0+h).
  • Desta forma o erro local é
E_{\text{local}} = -\tfrac{h^3}{12} f''(\xi),
ou seja, E_{\text{local}}=O(h^3).

Passo 5

Passando do erro local ao erro global (regra composta do trapézio):
  • Se o intervalo [a,b] é dividido em n subintervalos de largura h=(b-a)/n, o erro global é (pela soma dos locais, usando o teorema do valor médio para integrais de erro)
E_{\text{global}} = -\tfrac{(b-a)}{12} h^2 f''(\tilde\xi)
para algum \tilde\xi\in(a,b). Portanto o erro global é O(h^2).
  • Em termos de n, substituindo h=(b-a)/n:
E_{\text{global}} = O(h^2)=O\!\bigl((b-a)^2/n^2\bigr).
Mais explicitamente, com um limite superior se \max_{[a,b]}|f''|\le M,
|E_{\text{global}}|\le \frac{(b-a)}{12} h^2 M = \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}M.
  • Interpretação: dobrar n (ou seja, cortar h pela metade) reduz o erro por um fator aproximadamente 2^2=4.

Passo 6

Exemplo paralelo para a regra de Simpson (mostrando ordem mais alta):
  • A regra de Simpson composto tem erro global do tipo
E_{\text{Simpson}} = O(h^4).
  • Em forma de bound, se \max_{[a,b]}|f^{(4)}|\le M_4 e h=(b-a)/n com n par, então
|E_{\text{Simpson}}|\le \frac{(b-a)}{180} h^4 M_4 = \frac{(b-a)^5}{180\,n^4}M_4.
  • Interpretação: cortar h por 2 (dobrar n) reduz o erro por aproximadamente 2^4=16. Por isso métodos de ordem maior convergem muito mais rápido quando a função for suave o suficiente.

Passo 7

Regra geral e conceito de “ordem” do método:
  • Se um método de integração composto tem ordem p, isso significa que o erro global escala como
E_{\text{global}} = O(h^{p}).
  • Em termos do número de subintervalos n,
E_{\text{global}} = O\!\bigl(n^{-p}\bigr)
porque h=(b-a)/n.
  • Relação prática: quanto maior p, menos subintervalos preciso para atingir a mesma precisão. Por exemplo, para reduzir o erro em um fator 2^{p} basta cortar h pela metade.

Passo 8

Pontos práticos e armadilhas (coisas para prestar atenção na prova):
  • A fórmula de ordem/potência só vale enquanto a função for suficientemente suave (o bound usa derivadas f'', f^{(4)}, etc.). Se f não tiver as derivadas necessárias, a ordem pode ser menor.
  • Existe também erro de arredondamento (numérico); aumentar muito n reduz o truncamento, mas pode aumentar o erro de arredondamento. Em provas você normalmente ignora erro de arredondamento a menos que peçam análise combinada.
  • Sempre verifique se a regra composta requer n par (Simpson) ou outra condição.

Resposta

O erro de truncamento é a diferença entre a integral exata e a aproximação causada por truncar a expansão (ou aproximar f por um polinômio) ao construir a regra de integração. Em outras palavras, é o erro devido à aproximação analítica da função dentro de cada subintervalo.
Esse erro depende da largura do subintervalo h=(b-a)/n: se o método tem ordem p então o erro global típico é O(h^{p}), ou seja em termos de n vale O(n^{-p}). Por exemplo, para o trapézio composto p=2 e E=O(h^2)=O(n^{-2}); para Simpson composto p=4 e E=O(h^4)=O(n^{-4}).

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