O que significa o erro de truncamento em um método de integração numérica? Como ele se relaciona com o número de subintervalos utilizados?
Passo 1
O que o enunciado quer:
- Explicar o que significa o “erro de truncamento” em um método de integração numérica.
- Dizer como esse erro se relaciona com o número de subintervalos usados na aproximação.
Informações relevantes (o que já sabemos do enunciado):
- Não foram dadas funções nem intervalos específicos — a pergunta é conceitual e pede também a relação quantitativa entre erro e número de subintervalos.
- Espera-se uma explicação didática, com exemplos de regras comuns (por exemplo, trapézio e Simpson) e como o erro muda quando eu aumento o número de subintervalos.
Passo 2
O que é, em palavras simples, o erro de truncamento:
- Quando construímos uma regra de integração (como regra do trapézio, regra do ponto médio, regra de Simpson) nós aproximamos a integral exata por uma expressão finita que geralmente vem de truncar a série de Taylor de
ou de aproximar por um polinômio local. - O “erro de truncamento” é justamente o erro introduzido por essa aproximação — é a diferença entre a integral verdadeira e o valor aproximado devido a termos da série (ou termos do polinômio) que foram descartados.
- Intuitivamente: eu aproximo uma curva por uma reta ou por um polinômio de baixo grau em cada subintervalo; o erro de truncamento mede o quanto a curva real difere dessa aproximação.
Passo 3
Local vs. global (muito importante):
- Local truncation error (erro local): erro cometido em um único subintervalo de largura
quando aplico a regra naquele pedaço. Costuma ter ordem maior em (por exemplo para o trapézio em um subintervalo). - Global truncation error (erro total ou composto): somatório dos erros locais ao longo de todos os subintervalos do intervalo
. Se há subintervalos e , então somar erros locais costuma reduzir a ordem em em uma potência (explico na prática nos próximos passos). - Regra prática: se o erro local for
então o erro global do método composto costuma ser . Esse expoente é o “ordem” do método.
Passo 4
Derivação didática curta para a regra do trapézio (para sentir de onde vem o termo “truncamento”):
- Considere a integral em um subintervalo
. Expanda em Taylor ao redor de :
onde
e
está entre
e
.
- Integrando de
a obtemos a integral exata no subintervalo. A regra do trapézio para esse subintervalo usa
- Subtraindo e usando a expansão, chega-se (após simplificações que você pode repetir passo a passo na prova) à forma
para algum
.
- Desta forma o erro local é
ou seja,
.
Passo 5
Passando do erro local ao erro global (regra composta do trapézio):
- Se o intervalo
é dividido em subintervalos de largura , o erro global é (pela soma dos locais, usando o teorema do valor médio para integrais de erro)
para algum
. Portanto o erro global é
.
- Em termos de
, substituindo :
Mais explicitamente, com um limite superior se
,
- Interpretação: dobrar
(ou seja, cortar pela metade) reduz o erro por um fator aproximadamente .
Passo 6
Exemplo paralelo para a regra de Simpson (mostrando ordem mais alta):
- A regra de Simpson composto tem erro global do tipo
- Em forma de bound, se
e com par, então
- Interpretação: cortar
por 2 (dobrar ) reduz o erro por aproximadamente . Por isso métodos de ordem maior convergem muito mais rápido quando a função for suave o suficiente.
Passo 7
Regra geral e conceito de “ordem” do método:
- Se um método de integração composto tem ordem
, isso significa que o erro global escala como
- Em termos do número de subintervalos
,
porque
.
- Relação prática: quanto maior
, menos subintervalos preciso para atingir a mesma precisão. Por exemplo, para reduzir o erro em um fator basta cortar pela metade.
Passo 8
Pontos práticos e armadilhas (coisas para prestar atenção na prova):
- A fórmula de ordem/potência só vale enquanto a função for suficientemente suave (o bound usa derivadas
, , etc.). Se não tiver as derivadas necessárias, a ordem pode ser menor. - Existe também erro de arredondamento (numérico); aumentar muito
reduz o truncamento, mas pode aumentar o erro de arredondamento. Em provas você normalmente ignora erro de arredondamento a menos que peçam análise combinada. - Sempre verifique se a regra composta requer
par (Simpson) ou outra condição.
Resposta
O erro de truncamento é a diferença entre a integral exata e a aproximação causada por truncar a expansão (ou aproximar
por um polinômio) ao construir a regra de integração. Em outras palavras, é o erro devido à aproximação analítica da função dentro de cada subintervalo.
Esse erro depende da largura do subintervalo : se o método tem ordem
então o erro global típico é
, ou seja em termos de
vale
. Por exemplo, para o trapézio composto
e
; para Simpson composto
e
.
Esse erro depende da largura do subintervalo