Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
y^{\prime}=\frac{y-x}{y+x}
(Sol. \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+2 \arctan (y / x)=c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
y' = \frac{y - x}{y + x}
ou seja, a razão y'/1 é função de y/x. O método padrão para EDOs homogêneas é fazer a substituição
y = v x,
transformando a equação em uma de variáveis separáveis em v e x.

Passo 2

Com y = v x temos
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x \,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na ODE original,
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{v x - x}{v x + x} = \frac{v - 1}{v + 1}.

Passo 3

Isolamos o termo x\,dv/dx:
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{v - 1 - v(v + 1)}{v + 1} = -\,\frac{v^2 + 1}{v + 1}.
Logo a equação separável fica
\frac{dv}{dx} = -\,\frac{v^2 + 1}{x\,(v + 1)}.

Passo 4

Separamos as variáveis v e x:
\frac{v + 1}{v^2 + 1}\,dv = -\,\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{v + 1}{v^2 + 1}\,dv = \int \frac{v}{v^2+1}\,dv + \int \frac{1}{v^2+1}\,dv = \frac{1}{2}\ln\bigl(v^2+1\bigr) + \arctan(v),
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_1.
Portanto
\frac{1}{2}\ln\bigl(v^2+1\bigr) + \arctan(v) = -\ln|x| + C_1.

Passo 6

Voltando a v = y/x, multiplicamos por 2 e juntamos logaritmos:
\ln\bigl((y/x)^2+1\bigr) + 2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = -2\ln|x| + C_2.
Como \ln((y/x)^2+1)=\ln\bigl((x^2+y^2)/x^2\bigr)=\ln(x^2+y^2)-2\ln|x|, obtemos
\ln(x^2+y^2) + 2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = C_2.

Resposta

\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=C.

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