Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
2 x^{2} y d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\right) d y
(Sol. y^{9}=c\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2} )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
2x^{2}y\,dx = \bigl(3x^{3}+y^{3}\bigr)\,dy
Isso é uma equação de variáveis separáveis após reconhecermos que a razão entre os termos em x e y é homogênea de mesmo grau. Vamos usar a substituição
y = u x,
de modo que u será função de x, e depois voltar à variável original.

Passo 2

Primeiro colocamos tudo em termos de \dfrac{dy}{dx}. Dividindo por dx e por (3x^{3}+y^{3}), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{2x^{2}y}{3x^{3}+y^{3}}.

Passo 3

Como y = u x, temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{2x^{2}y}{3x^{3}+y^{3}} e usando y = u x no numerador e denominador, vem
u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x^{2}(u x)}{3x^{3} + (u x)^{3}} = \frac{2u\,x^{3}}{x^{3}(3+u^{3})} = \frac{2u}{3+u^{3}}.
Isolando x\,du/dx,
x\frac{du}{dx} = \frac{2u}{3+u^{3}} - u = -\,\frac{u\,(1+u^{3})}{3+u^{3}}.

Passo 4

Reescrevendo em forma separável, temos
\frac{3+u^{3}}{u\,(1+u^{3})}\,du = -\,\frac{dx}{x}.
Vamos integrar ambos os lados:
\int \frac{3+u^{3}}{u\,(1+u^{3})}\,du \;=\; - \int \frac{dx}{x}.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \frac{3+u^{3}}{u\,(1+u^{3})}\,du, escrevemos
\frac{3+u^{3}}{u\,(1+u^{3})} = \frac{1}{u} + \frac{2}{u\,(1+u^{3})}
e então em parciais,:
\int\frac{1}{u}\,du +2\int\frac{du}{u\,(1+u^{3})} = \ln|u| +2\Bigl(\ln|u| - \tfrac{1}{3}\ln|1+u^{3}|\Bigr) = 3\ln|u| - \tfrac{2}{3}\ln|1+u^{3}|.
Logo a igualdade de integrais dá
3\ln|u| \;-\; \tfrac{2}{3}\ln|1+u^{3}| = -\ln|x| + \ln C.

Passo 6

Multiplicando por 3 e exponenciando,
\frac{u^{9}}{(1+u^{3})^{2}} = \frac{C^{3}}{x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad u^{9}\,x^{3} = K\,(1+u^{3})^{2},
onde K=C^{3}. Voltando a u=y/x,
\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)^{9} x^{3} = K\Bigl(1+\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{3}\Bigr)^{2} \;\Longrightarrow\; y^{9} = K\,(x^{3}+y^{3})^{2}.

Resposta

y^{9} = C\,(x^{3} + y^{3})^{2},
que coincide com a solução esperada.

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