Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
y^{\prime}=\frac{y}{x}+e^{y / x}
(Sol. \quad-e^{-y / x}+c=\ln |x| )

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'=\frac{y}{x}+e^{y/x}
e pede a solução geral. Note que o lado direito depende apenas da razão u=y/x, ou seja, é uma EDO homogênea. Vamos usar a substituição
u=\frac{y}{x}
para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Com y=ux, calculamos
y' = \frac{d}{dx}(u x) = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em y'=\tfrac{y}{x}+e^{y/x} obtemos
u + x\frac{du}{dx} = u + e^u
e, portanto, simplifica para
x\frac{du}{dx} = e^u.

Passo 3

Agora temos uma EDO separável em u e x:
\frac{du}{dx} = \frac{e^u}{x}.
Reescrevendo em forma separada:
e^{-u}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{-u}\,du = \int \frac{dx}{x}
-\,e^{-u} = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original usando u=y/x:
-\,e^{-\,y/x} = \ln\lvert x\rvert + C.
Esta é a forma implícita da solução geral.

Resposta

-e^{-y/x} + C = \ln\lvert x\rvert

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