Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
(2 \sqrt{x y}-y) d x-x d y=0
(Sol. \sqrt{x y}-x=c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
(2\sqrt{x\,y}-y)\,dx - x\,dy = 0
usando substituições adequadas. Como aparece \sqrt{x\,y}, é conveniente definir
u = \sqrt{\frac{y}{x}},
isto é,
y = u^2 x.

Passo 2

A partir de y = u^2 x calculamos dy. Usando regra do produto e cadeia:
dy = d(u^2 x) = 2u\,x\,du + u^2\,dx.

Passo 3

Substituímos em (2\sqrt{x\,y}-y)\,dx - x\,dy = 0. Primeiro note que
\sqrt{x\,y} = \sqrt{x\,(u^2 x)} = x\,u.
Logo o termo em dx fica
2\sqrt{x\,y}-y = 2(xu) - (u^2 x) = x\bigl(2u - u^2\bigr)
e
x\,dy = x\bigl(2u\,x\,du + u^2\,dx\bigr) = 2u\,x^2\,du + u^2 x\,dx.
Substituindo na EDO:
x(2u - u^2)\,dx \;-\; \bigl(2u\,x^2\,du + u^2 x\,dx\bigr) = 0.
Reagrupando os termos em dx e du:
\bigl[2u\,x - u^2 x - u^2 x\bigr]\,dx \;-\; 2u\,x^2\,du = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2u\,x(1 - u)\,dx - 2u\,x^2\,du = 0.

Passo 4

Dividimos por 2u\,x (supondo u\neq0, x\neq0):
(1 - u)\,dx - x\,du = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = \frac{du}{1 - u}.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{1 - u} \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = -\ln|1 - u| + C_1.
Isso dá
\ln\bigl(x(1 - u)\bigr) = C_1 \quad\Longrightarrow\quad x(1 - u) = C,
onde C = e^{C_1} é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, u = \sqrt{y/x}, temos
x\Bigl(1 - \sqrt{\tfrac{y}{x}}\Bigr) = C \quad\Longrightarrow\quad x - \sqrt{x\,y} = C.
Podemos reescrever a constante mudando de sinal:
\sqrt{x\,y} - x = C'.

Resposta

\sqrt{x\,y} - x = C, em que C é constante de integração.

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