Resolva o P.V.I:
l y^prime+4x y=-x^5 e^x y(1)=1

Passo 1

O problema nos dá o P.V.I.
y'(x) + 4x,y(x) = -,x^5e^x, y(1)=1,
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 4x,dxr) = exp(4ln x) = x^4
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
x^4y' + 4x^3y = -x^9e^x

Passo 3

Repare que o lado esquerdo é a derivada de x^4y:
l(x^4yr)' = -,x^9e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados de x=1 até x, usando a condição inicial y(1)=1:
integral1^xl(x^4yr)' ,dx = integral1^x -,t^9e^t,dt Longrightarrow x^4y(x) - 1^4y(1) = -integral1^x t^9e^t,dt
Como 1^4y(1)=1, segue
x^4y(x) = 1 - integral1^x t^9e^t,dt Longrightarrow y(x) = 1x^4l[,1 - integral1^x t^9e^t,dtr]

Resposta

y(x) = 1x^4l[,1 - integral1^x t^9e^t,dtr]

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