Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((2 x+y-4) d x+(y-x-1) d y=0, y(2)=2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (p.v.i.)
(2x+y-4)\,dx + (y-x-1)\,dy = 0,\qquad y(2)=2.
Informações dadas:
M(x,y)=2x+y-4,\qquad N(x,y)=y-x-1.
A pergunta é: encontrar a solução da equação diferencial que satisfaz y(2)=2. A solução pode ficar em forma implícita.

Passo 2

Primeira tentativa óbvia: verificar se a equação é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata. Também podemos testar integrar fator que dependa só de x ou só de y; por exemplo
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{2}{y-x-1},
que depende de x e y juntos, e
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=-\frac{2}{2x+y-4},
que também depende de x e y. Logo, não há integrar fator puramente em x nem puramente em y.

Passo 3

Observação útil: M e N são polinomiais afins (grau 1) em x,y. Muitas vezes é conveniente transladar a origem para eliminar as constantes. Procuramos (x_0,y_0) tal que
2x_0+y_0-4=0,\qquad -x_0+y_0-1=0.
Resolvendo o sistema: somando as equações obtemos 3x_0=3 então x_0=1; substituindo dá y_0=2. Fazemos a mudança de variáveis
X=x-1,\qquad Y=y-2.
Como dx=dX e dy=dY, a equação em (X,Y) fica
(2X+Y)\,dX + (-X+Y)\,dY = 0.

Passo 4

Note que agora os coeficientes 2X+Y e -X+Y são homogêneos de grau 1 em X,Y (não têm termo constante). Para equações onde os termos são homogêneos do mesmo grau a técnica padrão é usar a substituição
v=\frac{Y}{X}\qquad(\text{ou }Y=vX),
que reduz a ordem: Y=vX implica
\frac{dY}{dX}=v + X\frac{dv}{dX}.
Substituímos na equação escrita como \frac{dY}{dX}= -\dfrac{2X+Y}{-X+Y}.

Passo 5

Substituindo Y=vX na razão dos coeficientes:
\frac{dY}{dX} = -\frac{2X+Y}{-X+Y} = -\frac{2X+vX}{-X+vX} = -\frac{2+v}{-1+v} = \frac{2+v}{1-v}.
Portanto temos a equação em v e X:
v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{1-v}.
Isolando X\frac{dv}{dX}:
X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{1-v} - v = \frac{2+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{2+v^2}{1-v}.
Agora separamos variáveis:
\frac{1-v}{2+v^2}\,dv = \frac{dX}{X}.

Passo 6

Integramos ambos os lados. À esquerda separamos a fração:
\int\frac{1-v}{2+v^2}\,dv = \int\frac{1}{2+v^2}\,dv - \int\frac{v}{2+v^2}\,dv.
Usamos duas fórmulas padrão:
\int\frac{1}{a^2+u^2}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C, \qquad \int\frac{u}{a^2+u^2}\,du = \frac{1}{2}\ln\big(a^2+u^2\big)+C.
Aqui a^2=2, logo a=\sqrt{2}. Assim
\int\frac{1}{2+v^2}\,dv = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right),
\int\frac{v}{2+v^2}\,dv = \frac{1}{2}\ln\big(2+v^2\big).
Portanto a integral à esquerda é
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2}\ln\big(2+v^2\big).
À direita \int \frac{dX}{X}=\ln|X| + C. Igualando:
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2}\ln\big(2+v^2\big) = \ln|X| + C.

Passo 7

Voltamos às variáveis originais: v=\dfrac{Y}{X}=\dfrac{y-2}{x-1} e X=x-1. Substituindo e simplificando a expressão logarítmica (usar 2+v^2=\dfrac{2(x-1)^2+(y-2)^2}{(x-1)^2}) obtemos, após cancelar os termos \ln|x-1|, uma forma mais limpa da solução implícita:
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{y-2}{\sqrt{2}(x-1)}\right) - \frac{1}{2}\ln\!\big(2(x-1)^2+(y-2)^2\big) = C_1,
onde C_1 é constante arbitrária. Multiplicando por 2 e rearranjando podemos escrever também
\sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{y-2}{\sqrt{2}(x-1)}\right) - \ln\!\big(2(x-1)^2+(y-2)^2\big) = C_2.

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial y(2)=2. Em x=2 temos x-1=1 e y-2=0. Substituindo na forma
\sqrt{2}\,\arctan(0) - \ln\big(2\cdot 1^2 + 0\big) = C_2
vem
0 - \ln 2 = C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\ln 2.

Passo 9

Portanto a solução do p.v.i., em forma implícita simplificada, é
\sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{y-2}{\sqrt{2}(x-1)}\right) - \ln\!\big(2(x-1)^2+(y-2)^2\big) = -\ln 2.
Podemos reescrever isolando o logaritmo, se preferir:
\sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{y-2}{\sqrt{2}(x-1)}\right) = \ln\!\left(\frac{2(x-1)^2+(y-2)^2}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \sqrt{2}\,\arctan\!\left(\frac{y-2}{\sqrt{2}(x-1)}\right) - \ln\!\big(2(x-1)^2+(y-2)^2\big) = -\ln 2

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