Resolva os p.v.i.'s abaixo:
((2 x+y-4) d x+(y-x-1) d y=0, y(2)=2).
((2 x+y-4) d x+(y-x-1) d y=0, y(2)=2).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (p.v.i.)
Informações dadas:
A pergunta é: encontrar a solução da equação diferencial que satisfaz
. A solução pode ficar em forma implícita.
Passo 2
Primeira tentativa óbvia: verificar se a equação é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Também podemos testar integrar fator que dependa só de
ou só de
; por exemplo
que depende de
e
juntos, e
que também depende de
e
. Logo, não há integrar fator puramente em
nem puramente em
.
Passo 3
Observação útil:
e
são polinomiais afins (grau 1) em
. Muitas vezes é conveniente transladar a origem para eliminar as constantes. Procuramos
tal que
Resolvendo o sistema: somando as equações obtemos
então
; substituindo dá
. Fazemos a mudança de variáveis
Como
e
, a equação em
fica
Passo 4
Note que agora os coeficientes
e
são homogêneos de grau
em
(não têm termo constante). Para equações onde os termos são homogêneos do mesmo grau a técnica padrão é usar a substituição
que reduz a ordem:
implica
Substituímos na equação escrita como
.
Passo 5
Substituindo
na razão dos coeficientes:
Portanto temos a equação em
e
:
Isolando
:
Agora separamos variáveis:
Passo 6
Integramos ambos os lados. À esquerda separamos a fração:
Usamos duas fórmulas padrão:
Aqui
, logo
. Assim
Portanto a integral à esquerda é
À direita
. Igualando:
Passo 7
Voltamos às variáveis originais:
e
. Substituindo e simplificando a expressão logarítmica (usar
) obtemos, após cancelar os termos
, uma forma mais limpa da solução implícita:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
e rearranjando podemos escrever também
Passo 8
Agora aplicamos a condição inicial
. Em
temos
e
. Substituindo na forma
vem
Passo 9
Portanto a solução do p.v.i., em forma implícita simplificada, é
Podemos reescrever isolando o logaritmo, se preferir: