Calcule os limites das funções abaixo quando x pm infty. Há assintota horizontal?
f(x)=sen(2 x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
f(x)=sen(2x)x
quando xto+infty e xto-infty, e verificar se existe assintota horizontal. Aqui vamos usar o fato de que sen(2x) é limitada e aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 2

Para xto+infty, sabemos que
-1<= sen(2x)<= 1.
Como x>0, dividindo por x preserva a desigualdade:
-1x;<=;sen(2x)x;<=;1x
Mas
limxto+inftyl(-tfrac1xr)=0 e limxto+inftytfrac1x=0,
logo, pelo Teorema do Confronto,
limxto+inftysen(2x)x=0

Passo 3

Para xto-infty, também vale -1<= sen(2x)<= 1. Agora |x|to+infty, então
|sen(2x)x| =|sen(2x)||x| <=1|x|,
e limxto-infty1/|x|=0. Assim, novamente pelo Teorema do Confronto,
limxto-inftysen(2x)x=0

Passo 4

Como os dois limites no infinito são iguais a zero, existe assintota horizontal dada por
y=0

Resposta

limxto+inftysen(2x)x=0, limxto-inftysen(2x)x=0
Sim, a reta y=0 é assintota horizontal.

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