Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função g(x)=1-5^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=1-5^{x} e pede para fazer o gráfico dela.
Informações do enunciado que vamos usar:
  • A função é g(x)=1-5^{x}.
  • Não há outras condições ou imagens fornecidas.

Passo 2

Entendendo a forma básica: a função exponencial 5^{x}. Vou explicar do zero, devagarinho.
  • A função x\mapsto 5^{x} tem domínio \mathbb{R} e imagem (0,\infty). Isso porque 5^{x}>0 para todo x.
  • Quando x\to -\infty tem-se 5^{x}\to 0^{+}. Quando x\to +\infty tem-se 5^{x}\to +\infty.
  • A curva de 5^{x} é crescente (quanto maior x, maior 5^{x}) e é convexa (curva sobe mais rápido à medida que x aumenta).
    Exemplo rápido: 5^{0}=1, 5^{1}=5, 5^{-1}=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Relacionando g(x) com 5^{x} por transformações:
  • Escrevendo de outra forma, g(x)=1-5^{x} = -5^{x} + 1.
  • Interprete em dois passos sobre o gráfico de y=5^{x}:
    1. Refletir verticalmente (multiplicar por -1): y=-5^{x}. Isso inverte a curva: onde 5^{x} era positiva, -5^{x} fica negativa; a monotonicidade inverte (de crescente para decrescente).
    2. Deslocar para cima em 1 unidade: y=-5^{x}+1. Isso desloca toda a curva resultante uma unidade no sentido positivo do eixo y.
      Essas transformações ajudam a desenhar o gráfico sem cálculos pesados.

Passo 4

Dominio, imagem e assíntota horizontal (consequências das transformações):
  • Domínio: como 5^{x} está definido para todo x, o domínio de g é \mathbb{R}.
  • Limite quando x\to -\infty: como 5^{x}\to 0^{+}, tem-se \lim_{x\to -\infty}g(x)=1-0=1. Logo há uma assíntota horizontal em y=1. A curva se aproxima de y=1 pela esquerda (por baixo).
  • Limite quando x\to +\infty: como 5^{x}\to +\infty, tem-se \lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty. Ou seja, para a direita a função cai sem limite.
  • Imagem (intervalo de valores): combinando os limites, \operatorname{Im}(g)=(-\infty,1).

Passo 5

Pontos importantes (para plotar no papel): calcular alguns valores exatos e interpretáveis sem calculadora.
  • Interseção com o eixo y (quando x=0): g(0)=1-5^{0}=1-1=0. Portanto o ponto (0,0).
  • Raiz (quando g(x)=0): resolve-se 1-5^{x}=0\Rightarrow 5^{x}=1\Rightarrow x=0. Isso confirma que a curva corta o eixo x em (0,0).
  • Valor em x=1: g(1)=1-5^{1}=1-5=-4. Ponto (1,-4).
  • Valor em x=2: g(2)=1-5^{2}=1-25=-24. Ponto (2,-24) (mostra queda rápida à direita).
  • Valor em x=-1: g(-1)=1-5^{-1}=1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}=0,8. Ponto (-1,0,8).
  • Valor em x=-2: g(-2)=1-5^{-2}=1-\tfrac{1}{25}=\tfrac{24}{25}=0,96. Ponto (-2,0,96).
    Observação: os pontos com x negativo ficam muito próximos de y=1, confirmando a assíntota horizontal.

Passo 6

Monotonicidade e curvatura (usando derivadas de forma simples):
  • Derivada: g'(x)=\dfrac{d}{dx}(1-5^{x}) = -5^{x}\ln 5. Aqui 5^{x}>0 e \ln 5>0, logo g'(x)<0 para todo x. Conclusão: g é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
  • Concavidade: segunda derivada g''(x)= -5^{x}(\ln 5)^{2}. Como isso também é negativo para todo x, a curva é côncava para baixo em toda a reta real (vai “virar para baixo” continuamente).
    Essas informações ajudam a traçar uma curva suave e correta: decrescente e côncava para baixo.

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (pra fazer rápido e bonito na folha da prova):
  1. Trace os eixos x e y. Marque uma linha horizontal pontilhada em y=1 (assíntota horizontal). Escreva y=1 ao lado.
  2. Marque e rotule os pontos calculados: (-2,0,96), (-1,0,8), (0,0), (1,-4). Use uma escala vertical mais espaçada do que a horizontal, porque g(2)=-24 é bem baixo.
  3. Comece pela esquerda: a curva se aproxima de y=1 por baixo quando x\to -\infty. Desenhe a curva começando perto de y=1 para x\ll0, passando por (-2,0,96) e (-1,0,8).
  4. Cruze o ponto (0,0). Depois a curva deve cair rapidamente, passando por (1,-4) e indo para -\infty quando x\to +\infty.
  5. Garanta que a curva é suave, estritamente decrescente e côncava para baixo (curvatura voltada para baixo em todo o gráfico). Não há pontos angulosos nem assíntotas verticais.
    Dica prática: para a parte esquerda (negativos), os valores ficam entre 0 e 1 e muito próximos de 1 para x mais negativos; para a parte direita a função cai muito rápido.

Passo 8

Resumo visual e verificação rápida (como checar se o desenho está razoável):
  • A curva corta a origem (0,0).
  • Para x<0 a curva está entre 0 e 1 e se aproxima de 1 quando x\to -\infty.
  • Para x>0 a curva é negativa e decresce rápido (em x=1 já está em -4).
  • Sem máximos ou mínimos locais (é monotonicamente decrescente).
    Se todas essas características estiverem no seu desenho, está correto.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (contradomínio efetivo): (-\infty,1)
Assíntota horizontal: y=1 quando x\to -\infty
Intercepto com os eixos: (0,0) (corta ambos os eixos ali)
Monotonicidade: decrescente em \mathbb{R} (pois g'(x)=-5^{x}\ln 5<0)

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