Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função
Faça o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para fazer o gráfico dela.
Informações do enunciado que vamos usar:
Informações do enunciado que vamos usar:
- A função é
. - Não há outras condições ou imagens fornecidas.
Passo 2
Entendendo a forma básica: a função exponencial
. Vou explicar do zero, devagarinho.
- A função
tem domínio e imagem . Isso porque para todo . - Quando
tem-se . Quando tem-se . - A curva de
é crescente (quanto maior , maior ) e é convexa (curva sobe mais rápido à medida que aumenta).
Exemplo rápido:, , .
Passo 3
Relacionando
com
por transformações:
- Escrevendo de outra forma,
. - Interprete em dois passos sobre o gráfico de
: - Refletir verticalmente (multiplicar por
): . Isso inverte a curva: onde era positiva, fica negativa; a monotonicidade inverte (de crescente para decrescente). - Deslocar para cima em
unidade: . Isso desloca toda a curva resultante uma unidade no sentido positivo do eixo .
Essas transformações ajudam a desenhar o gráfico sem cálculos pesados.
- Refletir verticalmente (multiplicar por
Passo 4
Dominio, imagem e assíntota horizontal (consequências das transformações):
- Domínio: como
está definido para todo , o domínio de é . - Limite quando
: como , tem-se . Logo há uma assíntota horizontal em . A curva se aproxima de pela esquerda (por baixo). - Limite quando
: como , tem-se . Ou seja, para a direita a função cai sem limite. - Imagem (intervalo de valores): combinando os limites,
.
Passo 5
Pontos importantes (para plotar no papel): calcular alguns valores exatos e interpretáveis sem calculadora.
- Interseção com o eixo
(quando ): . Portanto o ponto . - Raiz (quando
): resolve-se . Isso confirma que a curva corta o eixo em . - Valor em
: . Ponto . - Valor em
: . Ponto (mostra queda rápida à direita). - Valor em
: . Ponto . - Valor em
: . Ponto .
Observação: os pontos comnegativo ficam muito próximos de , confirmando a assíntota horizontal.
Passo 6
Monotonicidade e curvatura (usando derivadas de forma simples):
- Derivada:
. Aqui e , logo para todo . Conclusão: é estritamente decrescente em . - Concavidade: segunda derivada
. Como isso também é negativo para todo , a curva é côncava para baixo em toda a reta real (vai “virar para baixo” continuamente).
Essas informações ajudam a traçar uma curva suave e correta: decrescente e côncava para baixo.
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (pra fazer rápido e bonito na folha da prova):
- Trace os eixos
e . Marque uma linha horizontal pontilhada em (assíntota horizontal). Escreva ao lado. - Marque e rotule os pontos calculados:
, , , . Use uma escala vertical mais espaçada do que a horizontal, porque é bem baixo. - Comece pela esquerda: a curva se aproxima de
por baixo quando . Desenhe a curva começando perto de para , passando por e . - Cruze o ponto
. Depois a curva deve cair rapidamente, passando por e indo para quando . - Garanta que a curva é suave, estritamente decrescente e côncava para baixo (curvatura voltada para baixo em todo o gráfico). Não há pontos angulosos nem assíntotas verticais.
Dica prática: para a parte esquerda (negativos), os valores ficam entree e muito próximos de para mais negativos; para a parte direita a função cai muito rápido.
Passo 8
Resumo visual e verificação rápida (como checar se o desenho está razoável):
- A curva corta a origem
. - Para
a curva está entre e e se aproxima de quando . - Para
a curva é negativa e decresce rápido (em já está em ). - Sem máximos ou mínimos locais (é monotonicamente decrescente).
Se todas essas características estiverem no seu desenho, está correto.
Resposta
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal: quando
Intercepto com os eixos: (corta ambos os eixos ali)
Monotonicidade: decrescente em (pois
)
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal:
Intercepto com os eixos:
Monotonicidade: decrescente em