Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função f(x)=\log _{1 / 5} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\log_{1/5}x e pede para fazer o gráfico. Informações e objetivos claros a partir do enunciado:
  • Função dada: \displaystyle f(x)=\log_{1/5}x.
  • O que se pede: desenhar/descrição do gráfico de f.
  • Para desenhar corretamente é útil obter: domínio, imagem (range), monotonicidade, assíntotas, interceptos com os eixos, comportamento nas extremidades e alguns pontos-chave para marcar no esboço.

Passo 2

Definição e fórmula útil (ferramenta que vamos usar). A função logarítmica é definida por inversa da exponencial. Uma fórmula prática para cálculos e para estudar o sinal é a mudança de base:
\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Nesta fórmula:
  • x é a variável de entrada (tem que ser x>0 para o logaritmo real),
  • a é a base do logaritmo (aqui a=\tfrac{1}{5}),
  • \ln a é um número fixo (positivo se a>1, negativo se 0<a<1).
Aplicando à nossa função obtemos a forma mais manejável:
f(x)=\log_{1/5}x=\frac{\ln x}{\ln(1/5)}.
Como \ln(1/5)=\ln 1-\ln 5= -\ln 5 é negativo, podemos escrever
f(x)=\frac{\ln x}{-\ln 5}=-\frac{1}{\ln 5}\,\ln x.
Isto mostra que f é um múltiplo negativo de \ln x: é a função \ln x refletida no eixo x e comprimida/esticada por um fator 1/\ln 5.

Passo 3

Domínio e imagem (range). Pelo próprio significado de logaritmo:
  • Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}. Em notação: (0,\infty).
  • Imagem: como \ln x assume todos os valores reais e f é a multiplicação de \ln x por uma constante não-nula, a imagem é (-\infty,\infty).

Passo 4

Assíntotas e comportamento nas extremidades. Usamos limites:
\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{-\ln 5}=+\infty.
\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{-\ln 5}=-\infty.
Conclusão: existe uma assíntota vertical em x=0. Não há assíntota horizontal — a função cresce sem limite positivo quando x\to0^+ e decresce sem limite quando x\to+\infty.

Passo 5

Monotonicidade (se sobe ou desce). Derivada ajuda:
f'(x)=\frac{d}{dx}\log_{1/5}x=\frac{1}{x\ln(1/5)}.
Como \ln(1/5)=-\ln 5<0 e x>0, o denominador x\ln(1/5) é negativo, logo f'(x)<0 para todo x do domínio. Portanto f é estritamente decrescente em (0,\infty). Em palavras (amigável): por ser base menor que 1, o logaritmo decresce.

Passo 6

Interceptos e pontos-chave para marcar. Intercepto com o eixo x: resolver f(x)=0.
f(x)=0 \iff \log_{1/5}x=0 \iff x=1.
Não há intercepto com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio. Alguns pontos fáceis e úteis:
  • x=1\Rightarrow f(1)=0, ponto (1,0).
  • x=\tfrac{1}{5}\Rightarrow f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\log_{1/5}\tfrac{1}{5}=1, ponto \left(\tfrac{1}{5},1\right). (Peguei esse valor aplicando a definição do logaritmo: (1/5)^1=1/5.)
  • x=5\Rightarrow f(5)=\log_{1/5}5=-1, ponto (5,-1). (Aqui usei \log_{1/5}5=\dfrac{\ln 5}{\ln(1/5)}=\dfrac{\ln5}{-\ln5}=-1.)
  • Outros úteis: x=25\Rightarrow f(25)=-2 e x=\tfrac{1}{25}\Rightarrow f(\tfrac{1}{25})=2.
    Monte uma pequena tabela para desenhar:
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline \tfrac{1}{25} & 2\\\ \tfrac{1}{5} & 1\\\\ 1 & 0\\\\ 5 & -1\\\\ 25 & -2 \end{array}

Passo 7

Interpretação geométrica e dica prática de desenho. A escrita f(x)=-\dfrac{1}{\ln 5}\ln x mostra que o gráfico é o de \ln x multiplicado por uma constante negativa:
  • Reflexão: o sinal negativo inverte a orientação vertical da curva de \ln x (o que transforma o crescimento de \ln x em decrescimento).
  • Escala: o fator 1/\ln 5 controla a “inclinação” — mas para um esboço manual não é preciso o valor numérico exato; basta saber que é uma compressão/escala constante (>0).
    Para desenhar:
  1. Trace a reta vertical x=0 como assíntota (sombra, linha tracejada).
  2. Marque os pontos listados \left(\tfrac{1}{25},2\right),\left(\tfrac{1}{5},1\right),(1,0),(5,-1),(25,-2).
  3. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, que vai para +\infty quando x\to0^+ e para -\infty quando x\to+\infty, e que é estritamente decrescente.

Passo 8

Resumo visual e palavras amigas (ânimo: isso é parecido com outros logs, só que “de cabeça para baixo”). Em termos intuitivos: ao reduzir a base abaixo de 1 o gráfico do log vira de cabeça para baixo comparado a uma base maior que 1. Então imagine o gráfico de \ln x e reflita verticalmente; mantenha a assíntota em x=0 e o ponto (1,0).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)
Monotonicidade: estritamente decrescente em (0,\infty)
Assíntota: reta vertical x=0
Intercepto com eixo x: (1,0) (nenhum intercepto com eixo y)
Pontos para esboçar: \left(\tfrac{1}{25},2\right),\\ \left(\tfrac{1}{5},1\right),\\ (1,0),\\ (5,-1),\\ (25,-2)

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