Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função
Faça o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para fazer o gráfico. Informações e objetivos claros a partir do enunciado:
- Função dada:
. - O que se pede: desenhar/descrição do gráfico de
. - Para desenhar corretamente é útil obter: domínio, imagem (range), monotonicidade, assíntotas, interceptos com os eixos, comportamento nas extremidades e alguns pontos-chave para marcar no esboço.
Passo 2
Definição e fórmula útil (ferramenta que vamos usar). A função logarítmica é definida por inversa da exponencial. Uma fórmula prática para cálculos e para estudar o sinal é a mudança de base:
onde
é o logaritmo natural. Nesta fórmula:
-
é a variável de entrada (tem que ser para o logaritmo real), -
é a base do logaritmo (aqui ), -
é um número fixo (positivo se , negativo se ).
Aplicando à nossa função obtemos a forma mais manejável:
Como
é negativo, podemos escrever
Isto mostra que
é um múltiplo negativo de
: é a função
refletida no eixo
e comprimida/esticada por um fator
.
Passo 3
Domínio e imagem (range). Pelo próprio significado de logaritmo:
- Domínio:
. Em notação: . - Imagem: como
assume todos os valores reais e é a multiplicação de por uma constante não-nula, a imagem é .
Passo 4
Assíntotas e comportamento nas extremidades. Usamos limites:
Conclusão: existe uma assíntota vertical em
. Não há assíntota horizontal — a função cresce sem limite positivo quando
e decresce sem limite quando
.
Passo 5
Monotonicidade (se sobe ou desce). Derivada ajuda:
Como
e
, o denominador
é negativo, logo
para todo
do domínio. Portanto
é estritamente decrescente em
. Em palavras (amigável): por ser base menor que
, o logaritmo decresce.
Passo 6
Interceptos e pontos-chave para marcar. Intercepto com o eixo
: resolver
.
Não há intercepto com o eixo
porque
não pertence ao domínio. Alguns pontos fáceis e úteis:
-
, ponto . -
, ponto . (Peguei esse valor aplicando a definição do logaritmo: .) -
, ponto . (Aqui usei .) - Outros úteis:
e .
Monte uma pequena tabela para desenhar:
Passo 7
Interpretação geométrica e dica prática de desenho. A escrita
mostra que o gráfico é o de
multiplicado por uma constante negativa:
- Reflexão: o sinal negativo inverte a orientação vertical da curva de
(o que transforma o crescimento de em decrescimento). - Escala: o fator
controla a “inclinação” — mas para um esboço manual não é preciso o valor numérico exato; basta saber que é uma compressão/escala constante (>0).
Para desenhar:
- Trace a reta vertical
como assíntota (sombra, linha tracejada). - Marque os pontos listados
. - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, que vai para
quando e para quando , e que é estritamente decrescente.
Passo 8
Resumo visual e palavras amigas (ânimo: isso é parecido com outros logs, só que “de cabeça para baixo”). Em termos intuitivos: ao reduzir a base abaixo de
o gráfico do log vira de cabeça para baixo comparado a uma base maior que
. Então imagine o gráfico de
e reflita verticalmente; mantenha a assíntota em
e o ponto
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Assíntota: reta vertical
Intercepto com eixo :
(nenhum intercepto com eixo
)
Pontos para esboçar:
Imagem:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Assíntota: reta vertical
Intercepto com eixo
Pontos para esboçar: