Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos. Temos a equação diferencial
com a condição inicial
O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial indicada.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para isolar
. Expandindo o parêntese na equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos
Passo 3
Identificamos que a equação é separável: todas as ocorrências de
podem ficar de um lado e
do outro. Escrevemos
Agora vamos simplificar a parte da esquerda para integrar. Para facilitar a integral, usamos a substituição
Explicando: como
, então
, logo
Também
. Substituindo na integral left:
Passo 4
Integramos ambos os lados. A integral da esquerda em
é
porque a derivada de
é
. A integral da direita é
. Portanto, voltando para
(pois
),
Passo 5
Desfazendo o logaritmo: escrevemos
onde
é constante. Exponenciando,
com
(constante positiva). Agora precisamos escolher o sinal da expressão absoluta usando a condição inicial.
Passo 6
Usamos
. Calculamos
, que é negativo (pois
). Logo a quantidade
é negativa em
, então devemos tomar a ramificação negativa da constante absoluta:
Assim
Aplicando
e
em
, obtemos
Portanto