Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
e^{y}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+1\right)=1, y(0)=1.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos. Temos a equação diferencial
e^{y}\Big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+1\Big)=1
com a condição inicial
y(0)=1.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial indicada.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica para isolar \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Expandindo o parêntese na equação:
e^{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^{y}=1.
Subtraindo e^{y} de ambos os lados:
e^{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-e^{y}.
Dividindo por e^{y} (que nunca é zero) obtemos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{-y}-1.

Passo 3

Identificamos que a equação é separável: todas as ocorrências de y podem ficar de um lado e x do outro. Escrevemos
\frac{\mathrm{d}y}{e^{-y}-1}=\mathrm{d}x.
Agora vamos simplificar a parte da esquerda para integrar. Para facilitar a integral, usamos a substituição
u=e^{y}.
Explicando: como u=e^{y}, então \mathrm{d}u=e^{y}\mathrm{d}y=u\,\mathrm{d}y, logo
\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}u}{u}.
Também e^{-y}-1=\frac{1}{u}-1=\frac{1-u}{u}. Substituindo na integral left:
\frac{\mathrm{d}y}{e^{-y}-1}=\frac{\frac{\mathrm{d}u}{u}}{\frac{1-u}{u}}=\frac{\mathrm{d}u}{1-u}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral da esquerda em u é
\int \frac{\mathrm{d}u}{1-u} = -\ln\lvert 1-u\rvert + C,
porque a derivada de 1-u é -1. A integral da direita é \int \mathrm{d}x = x + C. Portanto, voltando para y (pois u=e^{y}),
-\ln\lvert 1-e^{y}\rvert = x + C.

Passo 5

Desfazendo o logaritmo: escrevemos
\ln\lvert 1-e^{y}\rvert = -x + C_1,
onde C_1 é constante. Exponenciando,
\lvert 1-e^{y}\rvert = A e^{-x},
com A>0 (constante positiva). Agora precisamos escolher o sinal da expressão absoluta usando a condição inicial.

Passo 6

Usamos y(0)=1. Calculamos 1-e^{y(0)}=1-e^{1}=1-e, que é negativo (pois e>1). Logo a quantidade 1-e^{y} é negativa em x=0, então devemos tomar a ramificação negativa da constante absoluta:
1-e^{y} = -A e^{-x}.
Assim
e^{y}=1+ A e^{-x}.
Aplicando x=0 e y(0)=1 em e^{y}=1+ A e^{-x}, obtemos
e^{1}=1+A\quad\Rightarrow\quad A=e-1.
Portanto
e^{y}=1+(e-1)e^{-x}.

Resposta

y(x)=\ln\!\bigl(1+(e-1)e^{-x}\bigr)

Exercícios relacionados