Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
|5-x|=\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
|5-x|=\sqrt{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • O valor do lado direito é \sqrt{2}, que é um número positivo (aproximadamente 1,414).
  • Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (a parte “aula” curta e prática):
  • Por definição, para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
  • Uma maneira útil de resolver |\text{algo}|=c\] quando \(c\ge0 é lembrar que isso é equivalente a
\text{algo} = c \quad\text{ou}\quad \text{algo} = -c.
(Se c<0 não haveria solução, porque valor absoluto é sempre \ge0.)
  • No nosso caso c=\sqrt{2}>0, portanto teremos duas equações lineares para resolver.]

Passo 3

Aplicando a estratégia ao nosso problema: as duas possibilidades são
5-x=\sqrt{2}
ou
5-x=-\sqrt{2}.

Passo 4

Resolver a primeira equação passo a passo:
5-x=\sqrt{2}.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
-x=\sqrt{2}-5.
Multiplicando por -1:
x=5-\sqrt{2}.

Passo 5

Resolver a segunda equação passo a passo:
5-x=-\sqrt{2}.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
-x=-\sqrt{2}-5.
Multiplicando por -1:
x=\sqrt{2}+5.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova):
  • Para x=5-\sqrt{2}:
5-(5-\sqrt{2})=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad |5-(5-\sqrt{2})|=|\sqrt{2}|=\sqrt{2},
ok.
  • Para x=5+\sqrt{2}:
5-(5+\sqrt{2})=-\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad |5-(5+\sqrt{2})|=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2},
ok.

Passo 7

Interpretação numérica (opcional, só para intuição): como \sqrt{2}\approx1,414, as soluções valem aproximadamente
x\approx 5-1,414=3,586\quad\text{e}\quad x\approx 5+1,414=6,414.

Resposta

x=5-\sqrt{2}
x=5+\sqrt{2}

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