Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
x\left(x^{2}-4 x+1\right)=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
x\left(x^{2}-4 x+1\right)=x.
Informações dadas:
\;x é um número real desconhecido e a única equação é \;x\left(x^{2}-4 x+1\right)=x.
A pergunta é: quais são todos os valores reais de \;x que satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: passar tudo para um lado da igualdade para obter uma equação igualada a zero. Subtraindo \;x dos dois lados temos
x\left(x^{2}-4 x+1\right)-x=0.

Passo 3

Agora vou fatorar o membro esquerdo. Uso a propriedade distributiva para colocar \;x em evidência:
x\bigl((x^{2}-4x+1)-1\bigr)=0.
Dentro dos parênteses (x^{2}-4x+1)-1 = x^{2}-4x. Então
x(x^{2}-4x)=0.

Passo 4

Continuo a fatoração extraindo x de x^{2}-4x:
x(x^{2}-4x)=x\bigl(x(x-4)\bigr)=x^{2}(x-4).
Explicação didática: quando um monômio x é fator comum em x^{2} e em -4x, escrevemos x^{2}-4x = x(x-4). Assim toda a expressão fica produto de fatores x^{2} e (x-4).

Passo 5

Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as equações a resolver são
x^{2}=0 \quad\text{ou}\quad x-4=0.
Da primeira vem \;x=0 (raiz de multiplicidade 2, mas isso só diz que aparece duas vezes na fatoração). Da segunda vem \;x=4.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir na equação original.
Para \;x=0: \;0\cdot(0^{2}-4\cdot0+1)=0\cdot1=0, que coincide com o lado direito \;0. OK.
Para \;x=4: \;4\cdot(4^{2}-4\cdot4+1)=4\cdot(16-16+1)=4\cdot1=4, que coincide com o lado direito \;4. OK.

Passo 7

Método alternativo (didático): poderíamos também ter dividido ambos os lados por \;x para resolver quando \;x\neq0. Dividindo por \;x (apenas válido para \;x\neq0) obtemos \;x^{2}-4x+1=1, que leva a \;x^{2}-4x=0 e as mesmas soluções \;x=0 (tratada separadamente) e \;x=4. Isso só reforça que não se deve dividir por uma expressão que pode ser zero sem verificar esse caso separadamente.

Resposta

x=0
x=4

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