Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
\quad x^{2}\left|x^{2}-4\right|=x(x-2)

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
x^{2}\left|x^{2}-4\right|=x(x-2).
Informações dadas e o que devemos obter:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Há um valor absoluto \left|x^{2}-4\right|, logo teremos que dividir a resolução em casos segundo o sinal de x^{2}-4.
  • Devemos listar todos os x reais que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e dividindo em casos:
  • Lembre que \left|A\right|=A se A\ge 0 e \left|A\right|=-A se A<0.
  • Aqui A=x^{2}-4. Logo os dois casos são:
    1. x^{2}-4\ge 0, isto é |x|\ge 2. Nesse caso \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4.
    2. x^{2}-4<0, isto é |x|<2. Nesse caso \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}.
      Vamos resolver a equação separadamente em cada caso.

Passo 3

Caso 1: |x|\ge 2. Substituindo \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4 na equação:
x^{2}(x^{2}-4)=x(x-2).
Expandindo e trazendo tudo para um lado:
x^{4}-4x^{2}-x^{2}+2x=0
x^{4}-5x^{2}+2x=0.
Fatorando x em evidência:
x\,(x^{3}-5x+2)=0.
Portanto ou x=0 ou x^{3}-5x+2=0.
  • x=0 não pertence ao caso 1, porque |0|<2. Então descartamos x=0 aqui.
    Para resolver x^{3}-5x+2=0 tentamos raízes racionais. Testando x=2:
2^{3}-5\cdot2+2=8-10+2=0,
logo x=2 é raiz. Fazendo a divisão polinomial (ou soma e produto) obtemos
x^{3}-5x+2=(x-2)(x^{2}+2x-1).
Agora resolvemos a quadrática
x^{2}+2x-1=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Resumo das soluções do caso 1 (antes de filtrar pelo domínio |x|\ge2):
x\in\{0,\;2,\;-1+\sqrt{2},\;-1-\sqrt{2}\}.
Agora aplicamos a condição |x|\ge 2:
  • 0 tem |0|<2 → rejeitar neste caso.
  • 2 tem |2|=2 → aceitar.
  • -1+\sqrt{2}\approx -1+1{,}414\approx0{,}414 tem |\cdot|<2 → rejeitar neste caso.
  • -1-\sqrt{2}\approx -2{,}414 tem |\cdot|\ge2 → aceitar.
    Portanto do caso 1 obtemos as soluções: x=2 e x=-1-\sqrt{2}.

Passo 4

Caso 2: |x|<2. Aqui \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}. Substituindo:
x^{2}(4-x^{2})=x(x-2).
Expandindo e organizando:
4x^{2}-x^{4}=x^{2}-2x
- x^{4}+3x^{2}+2x=0
multiplicando por -1:
x^{4}-3x^{2}-2x=0.
Fatorando x em evidência:
x\,(x^{3}-3x-2)=0.
Assim x=0 ou x^{3}-3x-2=0.
Testando raízes racionais para o cúbico, x=2 8-6-2=0, então x=2 é raiz (mas atenção ao domínio). Também x=-1 -1+3-2=0, logo x=-1 é raiz. Fatorando o cúbico usando essas raízes obtemos
x^{3}-3x-2=(x-2)(x+1)^{2}.
Então a equação total é
x(x-2)(x+1)^{2}=0.
As raízes aqui são x=0, x=2 e x=-1 (com multiplicidade 2). Agora filtramos pelo domínio |x|<2:
  • x=0 tem |0|<2 → aceitar.
  • x=2 tem |2|=2 → NÃO pertence a |x|<2, rejeitar neste caso.
  • x=-1 tem |-1|<2 → aceitar.
    Portanto do caso 2 obtemos as soluções: x=0 e x=-1.

Passo 5

Reunindo candidatos de ambos os casos, temos os possíveis x:
x\in\{-1-\sqrt{2},\;-1,\;0,\;2\}.
Vamos checar rapidamente cada um na equação original para garantir que não houve nenhuma extraneous root por manipulação (verificações simples):
  • x=2: \text{LHS}=2^{2}\left|2^{2}-4\right|=4\cdot0=0. \text{RHS}=2(2-2)=0. OK.
  • x=0: \text{LHS}=0^{2}\left|0^{2}-4\right|=0. \text{RHS}=0(0-2)=0. OK.
  • x=-1: \text{LHS}=(-1)^{2}\left|(-1)^{2}-4\right|=1\cdot|1-4|=1\cdot3=3. \text{RHS}=(-1)(-1-2)=(-1)(-3)=3. OK.
  • x=-1-\sqrt{2} (aprox. -2{,}414): calculando aproximado, x^{2}\approx5{,}828, x^{2}-4\approx1{,}828>0, então \text{LHS}\approx5{,}828\cdot1{,}828\approx10{,}65. \text{RHS}=x(x-2)\approx(-2{,}414)(-4{,}414)\approx10{,}65. OK. (Também foi obtido diretamente por fatoração, então é solução legítima.)
    Todas as quatro são soluções válidas.

Resposta

-1-\sqrt{2}
-1
0
2

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