Resumo das soluções do caso 1 (antes de filtrar pelo domínio |x|\ge2):
x\in\{0,\;2,\;-1+\sqrt{2},\;-1-\sqrt{2}\}.
Agora aplicamos a condição |x|\ge 2:
0 tem |0|<2 → rejeitar neste caso.
2 tem |2|=2 → aceitar.
-1+\sqrt{2}\approx -1+1{,}414\approx0{,}414 tem |\cdot|<2 → rejeitar neste caso.
-1-\sqrt{2}\approx -2{,}414 tem |\cdot|\ge2 → aceitar.
Portanto do caso 1 obtemos as soluções: x=2 e x=-1-\sqrt{2}.
Passo 4
Caso 2: |x|<2. Aqui \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}. Substituindo:
x^{2}(4-x^{2})=x(x-2).
Expandindo e organizando:
4x^{2}-x^{4}=x^{2}-2x
- x^{4}+3x^{2}+2x=0
multiplicando por -1:
x^{4}-3x^{2}-2x=0.
Fatorando x em evidência:
x\,(x^{3}-3x-2)=0.
Assim x=0 ou x^{3}-3x-2=0.
Testando raízes racionais para o cúbico, x=2 dá 8-6-2=0, então x=2 é raiz (mas atenção ao domínio). Também x=-1 dá -1+3-2=0, logo x=-1 é raiz. Fatorando o cúbico usando essas raízes obtemos
x^{3}-3x-2=(x-2)(x+1)^{2}.
Então a equação total é
x(x-2)(x+1)^{2}=0.
As raízes aqui são x=0, x=2 e x=-1 (com multiplicidade 2). Agora filtramos pelo domínio |x|<2:
x=0 tem |0|<2 → aceitar.
x=2 tem |2|=2 → NÃO pertence a |x|<2, rejeitar neste caso.
x=-1 tem |-1|<2 → aceitar.
Portanto do caso 2 obtemos as soluções: x=0 e x=-1.
Passo 5
Reunindo candidatos de ambos os casos, temos os possíveis x:
x\in\{-1-\sqrt{2},\;-1,\;0,\;2\}.
Vamos checar rapidamente cada um na equação original para garantir que não houve nenhuma extraneous root por manipulação (verificações simples):
x=2: \text{LHS}=2^{2}\left|2^{2}-4\right|=4\cdot0=0. \text{RHS}=2(2-2)=0. OK.
x=0: \text{LHS}=0^{2}\left|0^{2}-4\right|=0. \text{RHS}=0(0-2)=0. OK.
x=-1: \text{LHS}=(-1)^{2}\left|(-1)^{2}-4\right|=1\cdot|1-4|=1\cdot3=3. \text{RHS}=(-1)(-1-2)=(-1)(-3)=3. OK.
x=-1-\sqrt{2} (aprox. -2{,}414): calculando aproximado, x^{2}\approx5{,}828, x^{2}-4\approx1{,}828>0, então \text{LHS}\approx5{,}828\cdot1{,}828\approx10{,}65. \text{RHS}=x(x-2)\approx(-2{,}414)(-4{,}414)\approx10{,}65. OK. (Também foi obtido diretamente por fatoração, então é solução legítima.)
Todas as quatro são soluções válidas.