Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
\quad x^{2}(x-2)|x|-\left(x^{2}-2 x\right)|x-1|=0

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
x^{2}(x-2)|x|-\left(x^{2}-2 x\right)|x-1|=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x e buscamos todas as soluções reais.
  • Há valores absolutos |x| e |x-1|, logo os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam são importantes: \;x=0 e \;x=1.
  • Também aparece o fator x-2 (e x^{2}-2x=x(x-2)), então x=2 é outro ponto a observar.
  • Portanto, pontos críticos a considerar: \;x=0,\;x=1,\;x=2.
    A resolução verdadeira começa a seguir.

Passo 2

Vamos primeiro fatorar a expressão para simplificar. Observe que x^{2}-2x=x(x-2). Reescrevendo a equação:
x^{2}(x-2)|x|-(x^{2}-2x)|x-1|=x^{2}(x-2)|x|-x(x-2)|x-1|.
Colocando em evidência x(x-2):
x(x-2)\bigl(x|x|-|x-1|\bigr)=0.
Isto é uma fatoração legítima (multiplicamos e reagrupamos termos). Quando um produto é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim as possibilidades são:
  1. x=0,
  2. x=2,
  3. x|x|-|x-1|=0.
Agora vamos analisar cada caso.

Passo 3

Casos triviais do fator:
  • Se x=0, então o produto é zero. Verificação direta na equação original também dá zero (para conferir: primeiro termo nulo por fator x^{2}, segundo termo nulo por x em x^{2}-2x). Assim \;x=0 é solução.
  • Se x=2, similarmente o fator x-2 anula o produto. Substituição direta confirma que a equação vale zero. Assim \;x=2 é solução.
Resta resolver a equação
x|x|-|x-1|=0,
ou seja
x|x| = |x-1|.

Passo 4

Para resolver x|x| = |x-1| precisamos lidar com os sinais dentro dos módulos. As trocas de expressão ocorrem em x=0 e x=1, então vamos estudar separadamente as três regiões:
  • Região A: x<0.
  • Região B: 0\le x<1.
  • Região C: x\ge 1.
Em cada região substituímos |x| e |x-1| por expressões sem módulos e resolvemos a equação algébrica resultante.

Passo 5

Região A: x<0.
Aqui |x|=-x (porque x é negativo) e |x-1|=1-x (já que x-1<0).
Substituindo:
x|x| = x(-x) = -x^{2}, \qquad |x-1|=1-x.
A equação fica
-x^{2} = 1-x.
Reorganizando para forma quadrática:
-x^{2}+x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x+1=0.
Calculamos o discriminante para ver se há raízes reais:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 <0.
Como \Delta<0, não há raízes reais nesta região. Logo nenhum x<0 satisfaz x|x|=|x-1|.

Passo 6

Região B: 0\le x<1.
Aqui |x|=x e |x-1|=1-x. Substituindo:
x|x| = x\cdot x = x^{2}, \qquad |x-1|=1-x.
A equação fica
x^{2} = 1-x.
Reorganizando:
x^{2}+x-1=0.
Isto é uma equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para \;ax^{2}+bx+c=0 as raízes são \;x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=1,\;b=1,\;c=-1. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
As raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Agora verificamos quais delas pertencem ao intervalo 0\le x<1:
  • \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} é negativo (aprox. -1{,}618), fora do intervalo.
  • \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} é positivo (aprox. 0{,}618), e está em 0\le x<1.
Portanto, desta região obtemos a solução \;x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Região C: x\ge 1.
Aqui |x|=x e |x-1|=x-1. Substituindo:
x|x|=x^{2}, \qquad |x-1|=x-1.
A equação torna-se
x^{2}=x-1.
Reorganizando:
x^{2}-x+1=0.
Este é o mesmo polinômio que apareceu no Passo 5. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = -3 <0,
logo não há raízes reais em x\ge 1. Assim nenhuma solução nesta região.

Passo 8

Reunindo tudo:
  • Das duas primeiras fatorações tivemos imediatamente \;x=0 e \;x=2.
  • Da equação x|x|=|x-1| só veio a solução \;x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.
    Não houve soluções adicionais nem raízes extranhas introduzidas pelo processo de fatoração (cheque rápido: esses valores realmente anulam a equação original ou o fator que os gerou). Portanto o conjunto solução é formado por esses três números.

Resposta

\;x=0
\;x=2
\;x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}

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