Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
e buscamos todas as soluções reais. - Há valores absolutos
e , logo os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam são importantes: e . - Também aparece o fator
(e ), então é outro ponto a observar. - Portanto, pontos críticos a considerar:
.
A resolução verdadeira começa a seguir.
Passo 2
Vamos primeiro fatorar a expressão para simplificar. Observe que
. Reescrevendo a equação:
Colocando em evidência
:
Isto é uma fatoração legítima (multiplicamos e reagrupamos termos). Quando um produto é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim as possibilidades são:
-
, -
, -
.
Agora vamos analisar cada caso.
Passo 3
Casos triviais do fator:
- Se
, então o produto é zero. Verificação direta na equação original também dá zero (para conferir: primeiro termo nulo por fator , segundo termo nulo por em ). Assim é solução. - Se
, similarmente o fator anula o produto. Substituição direta confirma que a equação vale zero. Assim é solução.
Resta resolver a equação
ou seja
Passo 4
Para resolver
precisamos lidar com os sinais dentro dos módulos. As trocas de expressão ocorrem em
e
, então vamos estudar separadamente as três regiões:
- Região A:
. - Região B:
. - Região C:
.
Em cada região substituímos
e
por expressões sem módulos e resolvemos a equação algébrica resultante.
Passo 5
Região A:
.
Aqui (porque
é negativo) e
(já que
).
Substituindo:
Aqui
Substituindo:
A equação fica
Reorganizando para forma quadrática:
Calculamos o discriminante para ver se há raízes reais:
Como
, não há raízes reais nesta região. Logo nenhum
satisfaz
.
Passo 6
Região B:
.
Aqui e
. Substituindo:
Aqui
A equação fica
Reorganizando:
Isto é uma equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
as raízes são
. Aqui
. O discriminante é
As raízes são
Agora verificamos quais delas pertencem ao intervalo
:
-
é negativo (aprox. ), fora do intervalo. -
é positivo (aprox. ), e está em .
Portanto, desta região obtemos a solução
.
Passo 7
Região C:
.
Aqui e
. Substituindo:
Aqui
A equação torna-se
Reorganizando:
Este é o mesmo polinômio que apareceu no Passo 5. O discriminante é
logo não há raízes reais em
. Assim nenhuma solução nesta região.
Passo 8
Reunindo tudo:
- Das duas primeiras fatorações tivemos imediatamente
e . - Da equação
só veio a solução .
Não houve soluções adicionais nem raízes extranhas introduzidas pelo processo de fatoração (cheque rápido: esses valores realmente anulam a equação original ou o fator que os gerou). Portanto o conjunto solução é formado por esses três números.