Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
x\left(x^{2}-4 x+1\right)>x

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a inequação em \mathbb{R}:
x\left(x^{2}-4 x+1\right)>x.
Informações dadas:
\text{Inequação: }x\left(x^{2}-4 x+1\right)>x.çã
Pergunta: determinar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: passar tudo para o mesmo lado, subtraindo x dos dois lados da desigualdade. Isso nos dá
x\left(x^{2}-4 x+1\right)-x>0.

Passo 3

Fatoramos x em evidência no termo resultante:
x\bigl(x^{2}-4 x+1\bigr)-x = x\bigl(x^{2}-4 x+1\bigr)-1\cdot x = x\bigl((x^{2}-4x+1)-1\bigr).
Dentro do parêntese (x^{2}-4x+1)-1 as constantes +1 e -1 se cancelam, então
x\bigl((x^{2}-4x+1)-1\bigr)=x\bigl(x^{2}-4x\bigr).

Passo 4

Continuando a fatoração do polinômio x^{2}-4x colocamos x em evidência de novo:
x\bigl(x^{2}-4x\bigr)=x\cdot x\cdot (x-4)=x^{2}(x-4).
Portanto a inequação original é equivalente a
x^{2}(x-4)>0.

Passo 5

Agora vamos analisar o sinal do produto x^{2}(x-4). Lembrete didático: para um produto de fatores ser estritamente maior que zero, o número de fatores negativos deve ser par (assim o produto é positivo) e nenhum fator pode ser zero (pois produto > 0). Aqui temos dois tipos de fatores: x^{2} e (x-4).
  • O fator \;x^{2}\; é sempre não negativo para qualquer x\in\mathbb{R} e vale zero somente em x=0. Ou seja, \;x^{2}\ge 0 e \;x^{2}=0 se, e somente se, x=0.
  • O fator \;(x-4)\; muda de sinal em x=4: é negativo para x<4, zero em x=4 e positivo para x>4.

Passo 6

Condições para que x^{2}(x-4)>0:
  • Não podemos ter x^{2}=0, porque então o produto seria zero (e queremos estritamente >0). Logo x\neq 0.
  • Para x\neq 0 temos x^{2}>0, portanto o sinal do produto é o mesmo que o sinal de (x-4). Assim precisamos de (x-4)>0.
    Logo exigimos simultaneamente x\neq 0 e x-4>0.

Passo 7

A condição x-4>0 é simplesmente x>4. Essa condição já garante x\neq 0, então não precisamos separar o caso x=0 além de observar que x=0 não satisfaz a inequação. Também devemos excluir x=4, porque aí o produto vale zero e queremos estritamente maior que zero.
Portanto a solução é
x>4.

Passo 8

Verificação rápida com exemplos numéricos para ganhar confiança:
  • Se x=5: x(x^{2}-4x+1)=5(25-20+1)=5\cdot 6=30 e 30>5 é verdade.
  • Se x=2: x(x^{2}-4x+1)=2(4-8+1)=2(-3)=-6 e -6>2 é falso.
  • Se x=0: 0>0 é falso.
    Esses testes confirmam que apenas números maiores que 4 funcionam.

Resposta

(4,\infty)

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