Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a inequação em
:
Informações dadas:
Pergunta: determinar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: passar tudo para o mesmo lado, subtraindo
dos dois lados da desigualdade. Isso nos dá
Passo 3
Fatoramos
em evidência no termo resultante:
Dentro do parêntese
as constantes
e
se cancelam, então
Passo 4
Continuando a fatoração do polinômio
colocamos
em evidência de novo:
Portanto a inequação original é equivalente a
Passo 5
Agora vamos analisar o sinal do produto
. Lembrete didático: para um produto de fatores ser estritamente maior que zero, o número de fatores negativos deve ser par (assim o produto é positivo) e nenhum fator pode ser zero (pois produto > 0). Aqui temos dois tipos de fatores:
e
.
- O fator
é sempre não negativo para qualquer e vale zero somente em . Ou seja, e se, e somente se, . - O fator
muda de sinal em : é negativo para , zero em e positivo para .
Passo 6
Condições para que
:
- Não podemos ter
, porque então o produto seria zero (e queremos estritamente ). Logo . - Para
temos , portanto o sinal do produto é o mesmo que o sinal de . Assim precisamos de .
Logo exigimos simultaneamentee .
Passo 7
A condição
é simplesmente
. Essa condição já garante
, então não precisamos separar o caso
além de observar que
não satisfaz a inequação. Também devemos excluir
, porque aí o produto vale zero e queremos estritamente maior que zero.
Portanto a solução é
Portanto a solução é
Passo 8
Verificação rápida com exemplos numéricos para ganhar confiança:
- Se
: e é verdade. - Se
: e é falso. - Se
: é falso.
Esses testes confirmam que apenas números maiores quefuncionam.