Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{5 a-5 b}{2 a^{2}-2 b^{2}}=

Passo 1

O problema pede para simplificar a fração
\frac{5 a - 5 b}{2 a^{2} - 2 b^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 5 a - 5 b.
  • Denominador: 2 a^{2} - 2 b^{2}.
    A tarefa é reduzir essa expressão ao menor número de fatores possível, lembrando que não podemos dividir por zero (ou seja, devemos cuidar das condições que anulam o denominador).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Quando dois termos têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. No numerador os termos 5a e 5b têm fator comum 5. Portanto:
5 a - 5 b = 5(a - b).
Explicação rápida: tirar um fator em evidência significa escrever cx + cy = c(x+y). Aqui c=5, x=a, y=-b.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador. Primeiro observe que 2 a^{2} - 2 b^{2} tem fator comum 2. Colocando em evidência:
2 a^{2} - 2 b^{2} = 2\bigl(a^{2} - b^{2}\bigr).
Em seguida usamos a identidade conhecida como diferença de quadrados:
x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y).
Aplicando com x=a e y=b obtemos
a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b).

Passo 4

Substituindo as fatorações encontramos:
\frac{5 a - 5 b}{2 a^{2} - 2 b^{2}} = \frac{5(a - b)}{2(a - b)(a + b)}.

Passo 5

Agora podemos cancelar o fator comum (a - b) no numerador e no denominador, mas com cuidado: cancelar é válido apenas se esse fator não for zero. Ou seja, só podemos fazer a simplificação quando a - b \neq 0, isto é, a \neq b. Além disso, desde o início o denominador não pode ser zero, então precisamos também de a^{2} - b^{2} \neq 0, o que implica a \neq b e a \neq -b.
Realizando o cancelamento (sob a condição a \neq b) obtemos:
\frac{5(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{5}{2(a + b)}.

Passo 6

Conclusão e verificação rápida: a forma simplificada é \dfrac{5}{2(a+b)}. Verificação numérica para dar segurança: escolhendo a=2, b=1,
original: \dfrac{5\cdot2-5\cdot1}{2\cdot2^{2}-2\cdot1^{2}}=\dfrac{10-5}{8-2}=\dfrac{5}{6};
simplificado: \dfrac{5}{2(2+1)}=\dfrac{5}{6}. Confere.

Resposta

\dfrac{5}{2(a+b)},\; a\neq \pm b

Exercícios relacionados