Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
|5-x|<\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
|5-x|<\sqrt{2}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão a ser analisada é |5-x|.
  • O valor do lado direito é \sqrt{2}, que é positivo (aproximadamente 1,414).
  • Devemos achar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o módulo e a desigualdade: quando temos uma desigualdade do tipo
|a|<b
com b>0, isso significa que a distância de a até 0 é menor que b. A equivalência algébrica padrão é
|a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b < a < b.
Explicação rápida: |a| mede a distância de a a zero; dizer que essa distância é menor que b é o mesmo que afirmar que a está dentro do intervalo aberto (-b,b).

Passo 3

Aplicando essa equivalência à nossa desigualdade, com a=5-x e b=\sqrt{2}, obtemos a desigualdade dupla
-\sqrt{2} < 5-x < \sqrt{2}.

Passo 4

Resolver a desigualdade dupla passo a passo. Primeiro subtraímos 5 de todas as três partes (isso preserva a direção das desigualdades):
-\sqrt{2}-5 < -x < \sqrt{2}-5.
Expliquei: subtrair o mesmo número em todas as partes mantém as desigualdades válidas.

Passo 5

Agora multiplicamos todas as partes por -1. Ao multiplicar por número negativo, lembramos que todas as desigualdades mudam de direção (isto é, < vira >):
\sqrt{2}+5 > x > 5-\sqrt{2}.
Reescrevendo em ordem crescente (colocando x no meio com <):
5-\sqrt{2} < x < 5+\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretando o resultado: a solução é o intervalo aberto centrado em 5 com raio \sqrt{2}. Em notação de intervalo,
(5-\sqrt{2},\,5+\sqrt{2}).
Para ter uma ideia numérica: 5-\sqrt{2}\approx 3{,}586 e 5+\sqrt{2}\approx 6{,}414. Exemplos de verificação rápida: x=5 satisfaz (pois |5-5|=0<\sqrt{2}); x=4 satisfaz ( |5-4|=1<\sqrt{2}); x=3{,}5 não satisfaz ( |5-3{,}5|=1{,}5>\sqrt{2}).

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre transforme |\text{algo}|<\text{positivo} em uma desigualdade dupla -\text{positivo}<\text{algo}<\text{positivo}. Em seguida, resolva a desigualdade dupla com operações elementares (somar/subtrair e multiplicar/dividir), lembrando de inverter sinais ao multiplicar/dividir por números negativos.

Resposta

(5-\sqrt{2},\,5+\sqrt{2})

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