Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
\quad x\left|x^{2}-4 x\right|<x^{2}|x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x\left|x^{2}-4 x\right|<x^{2}|x|.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Há valores de x que podem anular termos (por exemplo x=0), então devemos ter cuidado com divisões.
  • Devemos encontrar todos os x que tornam a desigualdade verdadeira (estrita).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando que x^{2}-4x = x(x-4) e propriedades do módulo. Note que
\left|x^{2}-4x\right| = |x(x-4)| = |x|\,|x-4|.
Substituindo na inequação original obtemos
x\cdot |x|\,|x-4| < x^{2}|x|.

Passo 3

Observação importante sobre o caso x=0: se x=0 então o lado esquerdo vale 0 e o direito também vale 0, ou seja 0<0 é falso. Logo x=0 não pertence à solução. Assim podemos, a partir de agora, considerar apenas x\neq 0 e dividir por |x|>0 sem problema.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por |x| (válido pois x\neq 0) obtemos
x\,|x-4| < x^{2}.
Reescrevendo para fatorar x,
x\,|x-4| - x^{2} < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\bigl(|x-4|-x\bigr) < 0.
Agora temos um produto de dois fatores cujo produto deve ser negativo. Isso significa que os fatores têm sinais opostos.

Passo 5

Para tratar |x-4| dividimos em casos conforme a definição do módulo.
Caso A: x\ge 4. Nesse caso |x-4| = x-4. Então
|x-4|-x = (x-4)-x = -4.
Substituindo em x(|x-4|-x)<0 obtemos
x\cdot(-4)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad -4x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>0.
Como estamos no subcaso x\ge 4, a condição x>0 é automaticamente satisfeita. Logo todo x com x\ge 4 é solução deste caso.

Passo 6

Caso B: x<4. Nesse caso |x-4| = 4-x. Então
|x-4|-x = (4-x)-x = 4-2x.
A inequação x(|x-4|-x)<0 fica
x(4-2x)<0.
Podemos simplificar escrevendo x(4-2x)= -2x^{2}+4x, mas é mais direto resolver o sinal do produto. Os zeros do produto são x=0 e x=2. A expressão x(4-2x) é um produto de dois fatores, cuja tabela de sinais (ou análise de intervalo) dá:
  • Para x<0: x<0 e 4-2x>0 (porque 4-2x>4), produto negativo ⇒ satisfeita.
  • Para 0<x<2: x>0 e 4-2x>0, produto positivo ⇒ não satisfeita.
  • Para x>2 (e lembrando x<4 neste caso B, então 2<x<4): x>0 e 4-2x<0, produto negativo ⇒ satisfeita.
Lembrete: x=0 não é permitido (já visto) e x=2 torna o produto zero (igualdade), mas a inequação é estrita, então x=2 não entra.
Portanto, no caso x<4 obtemos como soluções os intervalos x<0 e 2<x<4.

Passo 7

Agora juntamos os resultados dos dois casos:
  • Do caso A ( x\ge 4) temos todo [4,\infty).
  • Do caso B ( x<4) temos (-\infty,0) e (2,4).
    Lembrando que x=0 e x=2 foram excluídos.
Unindo os intervalos obtemos
(-\infty,0)\cup(2,\infty).

Passo 8

Cheque rápido em pontos de teste para garantir consistência:
  • x=-1: LHS =-1\cdot|1+4|=-5, RHS =1\cdot1=1, tem -5<1 verdadeiro.
  • x=1: LHS =1\cdot|1-4|=3, RHS =1\cdot1=1, 3<1 falso.
  • x=3: LHS =3\cdot|9-12|=3\cdot3=9, RHS =9\cdot3=27, 9<27 verdadeiro.
  • x=0 e x=2 dão igualdade, portanto não entram (estrita).
Confirma que a solução está correta.

Resposta

(-\infty,0)\cup(2,\infty)

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