Resolva se possível, as seguintes inequações em IR: \quad x\left|x^{2}-4 x\right|<x^{2}|x|
Passo 1
O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x\left|x^{2}-4 x\right|<x^{2}|x|.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A incógnita é x\in\mathbb{R}.
Há valores de x que podem anular termos (por exemplo x=0), então devemos ter cuidado com divisões.
Devemos encontrar todos os x que tornam a desigualdade verdadeira (estrita).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão usando que x^{2}-4x = x(x-4) e propriedades do módulo. Note que
\left|x^{2}-4x\right| = |x(x-4)| = |x|\,|x-4|.
Substituindo na inequação original obtemos
x\cdot |x|\,|x-4| < x^{2}|x|.
Passo 3
Observação importante sobre o caso x=0: se x=0 então o lado esquerdo vale 0 e o direito também vale 0, ou seja 0<0 é falso. Logo x=0 não pertence à solução. Assim podemos, a partir de agora, considerar apenas x\neq 0 e dividir por |x|>0 sem problema.
Passo 4
Dividindo ambos os lados por |x| (válido pois x\neq 0) obtemos
Como estamos no subcaso x\ge 4, a condição x>0 é automaticamente satisfeita. Logo todo x com x\ge 4 é solução deste caso.
Passo 6
Caso B: x<4. Nesse caso |x-4| = 4-x. Então
|x-4|-x = (4-x)-x = 4-2x.
A inequação x(|x-4|-x)<0 fica
x(4-2x)<0.
Podemos simplificar escrevendo x(4-2x)= -2x^{2}+4x, mas é mais direto resolver o sinal do produto. Os zeros do produto são x=0 e x=2. A expressão x(4-2x) é um produto de dois fatores, cuja tabela de sinais (ou análise de intervalo) dá:
Para x<0: x<0 e 4-2x>0 (porque 4-2x>4), produto negativo ⇒ satisfeita.
Para 0<x<2: x>0 e 4-2x>0, produto positivo ⇒ não satisfeita.
Para x>2 (e lembrando x<4 neste caso B, então 2<x<4): x>0 e 4-2x<0, produto negativo ⇒ satisfeita.
Lembrete: x=0 não é permitido (já visto) e x=2 torna o produto zero (igualdade), mas a inequação é estrita, então x=2 não entra.
Portanto, no caso x<4 obtemos como soluções os intervalos x<0 e 2<x<4.
Passo 7
Agora juntamos os resultados dos dois casos:
Do caso A (x\ge 4) temos todo [4,\infty).
Do caso B (x<4) temos (-\infty,0) e (2,4).
Lembrando que x=0 e x=2 foram excluídos.
Unindo os intervalos obtemos
(-\infty,0)\cup(2,\infty).
Passo 8
Cheque rápido em pontos de teste para garantir consistência:
x=-1: LHS =-1\cdot|1+4|=-5, RHS =1\cdot1=1, tem -5<1 verdadeiro.