Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é um produto de três fatores:
, e . - O valor absoluto
é sempre não negativo e só vale zero em . - Os outros dois fatores são zero em
e . - Precisamos encontrar todos os
que tornam esse produto estritamente positivo.
Passo 2
Entendendo o papel do valor absoluto e a condição do produto ser positivo.
- Lembrete sobre valor absoluto: para todo
temos , e se e somente se . Aqui, e exatamente quando . - Regra importante para produto ser estritamente positivo: um produto é maior que zero se e somente se nenhum dos fatores for zero e o número de fatores negativos for par (0 ou 2 neste caso de três fatores) — mas como
nunca é negativo, ele não contribui para o sinal, só pode anular o produto. - Conclusão prática imediata: para ter
é necessário e suficiente que Ou seja, devemos ter (para evitar ) e simultaneamente .
Passo 3
Resolver a inequação quadrática
.
- Escrevendo melhor:
tem raízes e . - A expressão
é um polinômio quadrático cuja parábola abre para cima (coeficiente de é ). Para esse tipo de polinômio, o sinal é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro. - Portanto,
acontece quando ou . - Podemos confirmar com pontos-teste:
- Para
: (positivo). - Para
: (negativo). - Para
: (positivo).
Assim, está confirmado: solução deé .
- Para
Passo 4
Combinar com a condição
e remover pontos que anulam o produto.
- Já temos que
implica . - Mas também precisamos de
, isto é . Note que está dentro do intervalo , então devemos retirar esse ponto. - Além disso,
e não pertencem à solução porque anulariam o produto (só consideramos estritamente ), e de fato já não estavam nos intervalos abertos usados. - Logo a solução final é
Passo 5
Verificação rápida com exemplos para ter confiança:
-
: . OK. -
: então produto , não vale. OK. -
: . OK. -
: produto negativo (não está na solução). OK. -
: . OK.