Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
\quad x(x-1)|x+1|>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x(x-1)|x+1|>0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é um produto de três fatores: x, x-1 e |x+1|.
  • O valor absoluto |x+1| é sempre não negativo e só vale zero em x=-1.
  • Os outros dois fatores são zero em x=0 e x=1.
  • Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam esse produto estritamente positivo.

Passo 2

Entendendo o papel do valor absoluto e a condição do produto ser positivo.
  • Lembrete sobre valor absoluto: para todo t\in\mathbb{R} temos |t|\ge 0, e |t|=0 se e somente se t=0. Aqui, |x+1|\ge 0 e |x+1|=0 exatamente quando x=-1.
  • Regra importante para produto ser estritamente positivo: um produto é maior que zero se e somente se nenhum dos fatores for zero e o número de fatores negativos for par (0 ou 2 neste caso de três fatores) — mas como |x+1| nunca é negativo, ele não contribui para o sinal, só pode anular o produto.
  • Conclusão prática imediata: para ter x(x-1)|x+1|>0é necessário e suficiente que |x+1|>0 \quad\text{e}\quad x(x-1)>0.Ou seja, devemos ter x\neq -1 (para evitar |x+1|=0) e simultaneamente x(x-1)>0.

Passo 3

Resolver a inequação quadrática x(x-1)>0.
  • Escrevendo melhor: x(x-1)>0 tem raízes x=0 e x=1.
  • A expressão x(x-1) é um polinômio quadrático cuja parábola abre para cima (coeficiente de x^2 é 1>0). Para esse tipo de polinômio, o sinal é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro.
  • Portanto, x(x-1)>0 acontece quando x<0 ou x>1.
  • Podemos confirmar com pontos-teste:
    • Para x=-1: (-1)((-1)-1)=(-1)(-2)=2>0 (positivo).
    • Para x=0{,}5: 0{,}5(0{,}5-1)=0{,}5(-0{,}5)=-0{,}25<0 (negativo).
    • Para x=2: 2(1)=2>0 (positivo).
      Assim, está confirmado: solução de x(x-1)>0 é (-\infty,0)\cup(1,\infty).

Passo 4

Combinar com a condição x\neq -1 e remover pontos que anulam o produto.
  • Já temos que x(x-1)>0 implica x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty).
  • Mas também precisamos de |x+1|>0, isto é x\neq -1. Note que x=-1 está dentro do intervalo (-\infty,0), então devemos retirar esse ponto.
  • Além disso, x=0 e x=1 não pertencem à solução porque anulariam o produto (só consideramos estritamente >\!0), e de fato já não estavam nos intervalos abertos usados.
  • Logo a solução final é (-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(1,\infty).

Passo 5

Verificação rápida com exemplos para ter confiança:
  • x=-2\in(-\infty,-1): -2(-3)|-1| = 6>0. OK.
  • x=-1: |x+1|=0 então produto =0, não vale. OK.
  • x=-0{,}5\in(-1,0): -0{,}5(-1{,}5)|0{,}5| = (+) \cdot 0{,}5 >0. OK.
  • x=0{,}5\in(0,1): produto negativo (não está na solução). OK.
  • x=2\in(1,\infty): 2\cdot1\cdot|3|=6>0. OK.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(1,\infty)

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