Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{3}-x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{3}-x}{x^{2}-1}.
Informações dadas: a expressão algébrica é um quociente de polinómios em x. Não há outras condições explícitas no enunciado, mas sempre devemos lembrar que o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Observação útil (fator comum): em muitos casos simplificar uma fração algébrica começa por fatorar numerador e denominador. Vamos olhar para o numerador \,x^{3}-x. Note que ambos os termos têm um fator comum x. Retirando esse fator comum obtemos:
x^{3}-x = x\bigl(x^{2}-1\bigr).
Explicação didática: tirar fator comum significa escrever cada termo como produto de algo em comum por outro fator. Aqui x^{3}=x\cdot x^{2} e x=x\cdot 1, então x^{3}-x=x(x^{2}-1).

Passo 3

Fatorando o denominador: o denominador é \,x^{2}-1, que é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Também podemos notar que o fator x^{2}-1 aparece no numerador (veja o Passo 2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original temos:
\frac{x^{3}-x}{x^{2}-1}=\frac{x\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}-1}.
Agora podemos cancelar o fator comum \,x^{2}-1 no numerador e no denominador, desde que esse fator não seja zero. Após cancelar obtemos:
\frac{x\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}-1}=x \quad\text{(quando \(x^{2}-1\neq 0\)).}

Passo 5

Tratar as restrições de domínio: a operação de simplificação por cancelamento exige que o fator cancelado não seja zero. Então precisamos exigir
x^{2}-1\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 1,\; x\neq -1.
Portanto a igualdade da expressão original com x vale para todos os x exceto x=1 e x=-1. Observação prática (checagem): se x=2, a expressão original vale \dfrac{2^{3}-2}{2^{2}-1}=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2, que coincide com x.

Passo 6

Conclusão didática: a técnica usada foi fatorar numerador e denominador, reconhecer e aplicar diferença de quadrados, e cancelar fatores comuns respeitando as restrições do domínio. Esse é o procedimento padrão para simplificar frações algébricas semelhantes na prova.

Resposta

\;x\quad(x\neq 1,\;x\neq -1)

Exercícios relacionados