Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{5}-x^{3}.
  • Denominador: x^{2}.
  • A operação é divisão de polinômios (ou de potências de x).
    O objetivo é transformar essa expressão numa forma mais simples, possivelmente fatorada, lembrando que não podemos dividir por zero.

Passo 2

Lembrete importante sobre domínio: como há uma divisão por x^{2}, a expressão original está definida apenas para
x\neq 0.
Sempre que usarmos a regra de reduzir potências dividindo, precisamos lembrar dessa condição x\neq 0.

Passo 3

Regra de potências útil aqui: para qualquer base x diferente de zero e quaisquer inteiros a,b,
\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}.
Vou aplicar essa regra termo a termo no numerador, escrevendo a divisão como soma de duas frações:
\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{2}}=\frac{x^{5}}{x^{2}}-\frac{x^{3}}{x^{2}}.

Passo 4

Aplicando a regra \dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b} em cada parcela:
\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{5-2}=x^{3}, \qquad \frac{x^{3}}{x^{2}}=x^{3-2}=x^{1}=x.
Portanto (fazendo a subtração das parcelas),
\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{2}}=x^{3}-x.

Passo 5

Outra maneira — útil para prova — é fatorar um fator comum no numerador antes de cancelar. No numerador x^{5}-x^{3} o maior fator comum é x^{3}, então
x^{5}-x^{3}=x^{3}\bigl(x^{2}-1\bigr).
Dividindo por x^{2} obtemos
\frac{x^{3}\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}}=x^{3-2}\bigl(x^{2}-1\bigr)=x\bigl(x^{2}-1\bigr).
Expandindo x\bigl(x^{2}-1\bigr) volta-se a obter x^{3}-x, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Podemos ainda fatorar a diferença de quadrados x^{2}-1 usando
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
com a=x e b=1. Assim
x^{3}-x=x\bigl(x^{2}-1\bigr)=x(x-1)(x+1).
Essa forma fatorada é útil para ver raízes e multiplicidades da expressão simplificada.

Passo 7

Resumo e observações finais (dicas para a prova):
  • Use a regra de expoentes \dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b} para simplificações rápidas termo a termo.
  • Sempre confira o domínio: a expressão original exige x\neq 0.
  • Fatorar um fator comum é uma alternativa robusta que permite cancelar sem erro.
  • Se pedirem forma fatorada, entregue x(x-1)(x+1); se quiserem forma polinomial simplificada, entregue x^{3}-x.

Resposta

x^{3}-x,\quad x\neq 0

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